Autor |
Beitrag |
Oskar
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 07:15: |
|
Hallo, leider kann ich die nachstehende Aufgabe nicht lösen: Man bestimme die folgenden Grenzwerte: a) G1 = limes [ Pi / cos x – 2 x tan x ] , x strebt gegen ½ *Pi b) G2 = limes [ ( Pi – x ) tan ( ½ x ) ] , x strebt gegen Pi Man zeige zuerst,dass G1 = G2 gilt und berechne dann G1 oder G2. Für jede Hilfe bin ich dankbar. Mit freundlichen Grüßen Oskar
|
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 317 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:12: |
|
Oskar, Lösungsvorschlag: Schreibe G2 = limx->pi/2(pi-2x)*tan(x). Dann wird G1 - G2 = pi*limx->pi/2[(1-sin(x))/cos(x)] = 0 letzteres z.B. nach de l'Hospital. Ferner ist G2 = limx->pi/2[(pi-2x}*sin(x)/cos(x)] ebenfalls mittels de l'Hospital leicht auszuwerten. mfg Orion
|
megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:18: |
|
Hi Oskar, In der Teilaufgabe b) substituieren wir x/2 = u; wenn x gegen Pi strebt, so geht u gegen ½ Pi. Wir betrachten nun die Funktion g(u) = ( Pi – 2 u ) tan u = Pi * tan u - 2 u tan u, welche aus der Funktion f(x) = ( Pi – x ) tan ( ½ x ) nach erfolgter Substitution entsteht. Im Funktionsterm für g(u) ersetzen wir noch den ersten Faktor tan u durch sin u /cos u.; es entsteht: g(u) = Pi * sin u / cos u - 2 u tan u. Beim Grenzübergang u gegen ½ Pi ist der Zähler sin u irrelevant (er strebt gegen 1); er kann somit unterdrückt, d.h. weggelassen werden. Was übrig bleibt, stimmt mit der Teilaufgabe a) überein, nur steht an Stelle von x die Variable u, womit der verlangte Nachweis vollzogen ist. Im zweiten Teil lösen wir die Teilaufgabe b) Setzen wir im Funktionsterm f(x) statt tan den äquivalenten Term 1 / cotan ( ½ x ) ein, so erhalten wir ein Beispiel zur Berechnung der so genannten unbestimmten Form 0/0, das wir mit der Regel von De L’Hospital-Bernoulli lösen. Die Limites beziehen sich im Folgenden alle auf den Grenzübergang x strebt gegen Pi. Es kommt der Reihe nach G2 =lim [ (Pi – x) / cotan (x /2) ] = lim [ { – 1 } / { - ½ / (sin x/2) ^2} ] = lim [ 2* ( sin x/2 ) ^ 2 ] = 2 als Schlussergebnis Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:27: |
|
Hallo, Orion, ich freue mich über Deine Pool-Position in unserem erneuten Zusammentreffen im Forum innerhalb eines relativ kleinen Zeitraums. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 318 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 19:03: |
|
Hallo megamath, Das Vergnügen beim Zusammentreffen ist ganz auf meiner Seite ! mfg Orion
|
|