Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Zwei Grenzwerte

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Zwei Grenzwerte « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Oskar
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 07:15:   Beitrag drucken

Hallo,

leider kann ich die nachstehende Aufgabe nicht lösen:

Man bestimme die folgenden Grenzwerte:

a) G1 = limes [ Pi / cos x – 2 x tan x ] , x strebt gegen ½ *Pi
b) G2 = limes [ ( Pi – x ) tan ( ½ x ) ] , x strebt gegen Pi

Man zeige zuerst,dass G1 = G2 gilt und berechne dann
G1 oder G2.

Für jede Hilfe bin ich dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
Oskar
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 317
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:12:   Beitrag drucken

Oskar,

Lösungsvorschlag: Schreibe

G2 = limx->pi/2(pi-2x)*tan(x).

Dann wird

G1 - G2 = pi*limx->pi/2[(1-sin(x))/cos(x)] = 0

letzteres z.B. nach de l'Hospital.

Ferner ist

G2 = limx->pi/2[(pi-2x}*sin(x)/cos(x)]

ebenfalls mittels de l'Hospital leicht
auszuwerten.
mfg

Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

megamath
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:18:   Beitrag drucken

Hi Oskar,

In der Teilaufgabe b) substituieren wir x/2 = u;
wenn x gegen Pi strebt, so geht u gegen ½ Pi.
Wir betrachten nun die Funktion
g(u) = ( Pi – 2 u ) tan u = Pi * tan u - 2 u tan u,
welche aus der Funktion
f(x) = ( Pi – x ) tan ( ½ x ) nach erfolgter Substitution entsteht.

Im Funktionsterm für g(u) ersetzen wir noch den ersten Faktor
tan u durch sin u /cos u.; es entsteht:
g(u) = Pi * sin u / cos u - 2 u tan u.
Beim Grenzübergang u gegen ½ Pi ist der Zähler sin u
irrelevant (er strebt gegen 1); er kann somit unterdrückt,
d.h. weggelassen werden.
Was übrig bleibt, stimmt mit der Teilaufgabe a) überein,
nur steht an Stelle von x die Variable u, womit der verlangte
Nachweis vollzogen ist.

Im zweiten Teil lösen wir die Teilaufgabe b)
Setzen wir im Funktionsterm f(x) statt tan den äquivalenten Term
1 / cotan ( ½ x ) ein, so erhalten wir ein Beispiel zur Berechnung der
so genannten unbestimmten Form 0/0, das wir mit der
Regel von De L’Hospital-Bernoulli lösen.
Die Limites beziehen sich im Folgenden alle auf den Grenzübergang
x strebt gegen Pi.
Es kommt der Reihe nach
G2 =lim [ (Pi – x) / cotan (x /2) ] = lim [ { – 1 } / { - ½ / (sin x/2) ^2} ] =
lim [ 2* ( sin x/2 ) ^ 2 ] = 2 als Schlussergebnis

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

megamath
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 09:27:   Beitrag drucken

Hallo, Orion,

ich freue mich über Deine Pool-Position in unserem erneuten Zusammentreffen im Forum innerhalb eines relativ kleinen Zeitraums.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 318
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 19:03:   Beitrag drucken

Hallo megamath,

Das Vergnügen beim Zusammentreffen
ist ganz auf meiner Seite !
mfg

Orion

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page