| Autor |
Beitrag |
    
Oskar
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 14:43: | 
|
Hallo,
Für die folgende Aufgabe finde ich keinen Lösungsansatz:
Man ermittle alle Lösungen der Gleichung
x ^ 6 - 6 x ^ 5 +24 x ^ 4 - 40 x ^ 3 + 49 x ^ 2 - 34 x + 26 = 0 .
Hinweis: Man benütze die Tatsache, dass x = i und x = 1+ i
Lösungen der Gleichung sind.
Für jede Hilfe bin ich dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Oskar
|
Helfer
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 15:31: |
|
Wenn ich mich recht erinnere geht das so:
Wenn Du eine Nullstelle x0 kennst, dann kannst du sie von dem Polynom f(x) abspalten, indem Du f(x)/(x-x0) mittels Polynomdivision ausrechnest. Das neue Polynom, das jetzt einen Grad niedriger ist als das ursprüngliche, kannst Du weiter auf Nullstellen untersuchen.
Du kennst nun zwei Nullstellen, also kannst Du beide abspalten.
Damit hast du nun nur noch ein Polynom 4. Grades.
Eine Eigenschaft von komplexen Lösungen ist außerdem:
Wenn das Polynom nur reelle Koeffizienten besitzt und z1=a+ib eine komplexe Nullstelle ist, dann ist auch z2:=a-ib eine Nullstelle.
Also in Deinem Fall sind auch x=-i und x=1-i Lösungen. Damit hast Du schon 4 Lösungen und nur noch ein Polynom 2. Grades übrig, das sich problemlos mit der quadratischen Lösungsformel behandeln lässt. |
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 15:39: |
|
Hi Oskar,
Wir kennen sogar vier Lösungen, da mit jeder komplexen Lösung,
sofern die Koeffizienten der gegebenen Gleichung alle reell sind,
stets auch die konjugiert komplexe Zahl dieser Lösung als eine
weitere Lösung auftritt.
Mit x1 = i1 tritt somit auch x2 = - i1 als Lösung auf; ebenso
sind x3 = 1 + i1 und x4 = 1 – i1 Lösungen
Das Gleichungspolynom
P(x) = x ^ 6 - 6 x ^ 5 + 24 x ^ 4 - 40 x ^ 3 + 49 x ^ 2 - 34 x + 26
ist somit durch das (reelle) Polynom Q(x) teilbar, wobei gilt:
Q(x) = (x-x1) *(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)
Zwischenrechnungen:
Q1(x) = (x-x1)*(x-x2) = x ^ 2 + 1
Q2(x )= (x-x3)*(x-x4) = x ^ 2 – 2 x + 2
Damit erhalten wir :
Q(x) = Q1(x) * Q2(x) = x ^ 4 - 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 2 x + 2
Die Polynomdivision S(x) = P(x) / Q(x) liefert
S (x) = x ^ 2 – 4 x + 13.
Mit den Nullstellen von S(x) erhalten wir die restlichen zwei Lösungen x5, x6:
x5 = 2 + i3
x6 = 2 – i3
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
Oskar
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 11:02: |
|
Ich bedanke mich sehr bei beiden Helfern,
ich habe es nun verstanden!
Oskar |
|
