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Beitrag |
    
Andreas
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 11:59: | 
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Hallo,
Kann mir jemand behilflich sein, die folgende Extremalaufgabe,
welche eine Nebenbedingung enthält, zu lösen.
Besten Dank im Voraus.
Andreas
Die Aufgabe lautet:
Man ermittle für die Funktion in zwei Variablen
f(x,y) = x ^ 2 + 8 x – y ^ 2 + 9 die Extremwerte unter der Bedingung
x ^ 2 + y ^ 2 = 1
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 515
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 12:32: |
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durch die Nebenbedingung wird das zu einem Problem in einer Variablen
y^2 = 1 - x^2,
f(x,y) = f(x) = x^2 + 8x - 1 + x^2 + 9
f(x) = 2x^2 + 8x + 8 = 2*(x^2 + 4x + 4) = 2*(x+2)^2
f'(x) = 4*(x+2); Extremum x = -2 |
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 13:48: |
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Hi Andreas,
Zur Lösung Deiner Aufgabe benütze ich die Methode der Parametrisierung der Nebenbedingung, indem ich für die Kreisgleichung x ^ 2 + y ^ 2 = 1 die
Parameterdarstellung x = cos t , y = sin t des Kreises verwende..
Dabei variiert der Parameter von t = 0 bis t = 2 Pi.
Die gegebene Funktion f (die Zielfunktion) geht über in eine Funktion g(t)
des Parameters t :
g(t) = ( cos t ) ^ 2 + 8 * cos t - ( sin t ) ^ 2 + 9.
Es geht nun darum, die Extremalwerte dieser Funktion für das angegebene
Intervall zu ermitteln..
Zu diesem Zweck berechnen wir die erste Ableitung g ’ (t) von g(t) nach t ;
Es kommt:
g ’ (t) = - 2 cos t * sin t – 8 sin t – 2 sin t cos t .
Setzt man g ’ (t) null, so entsteht die goniometrische Gleichung
4 sin t * ( cos t + 2 ) = 0
1.Fall
sin t = 0
daraus folgt t = 0 oder t = Pi
t = 0 führt auf x = 1 , y = 0 , also auf den Punkt P1( 1/0) auf dem Einheitskreis.
t = Pi führt auf x = - 1 , y = 0 , also auf den Punkt P2(-1/0) auf dem Einheitskreis.
2..Fall
cos t + 2 = 0 ; dieser Fall kann aus offensichtlichen Gründen nicht eintreten !
Man bestätigt leicht:
Im Punkt P1 nimmt die Funktion g(t) und damit F den Maximalwert 18 an;
Im Punkt P2 nimmt die Funktion g(t) und damit F den Minimalwert 2 an.
Anmerkung
Man kann die Aufgabe elegant auch mit der Multiplikatormethode
von Lagrange lösen (Joseph Lagrange, 1736 -1813).
Wenn ich Zeit und Muße finde, werde ich Dir diese Methode vorführen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 16:03: |
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Lieber Friedrich,
Bei Deiner Lösung der vorliegenden Extremalaufgabe,
die im Ansatz völlig in Ordnung ist, hat sich ein Fehler eingeschlichen:
Es handelt sich in Tat und Wahrheit bei Deiner Version
um Randextrema; das gültige Intervall für die Variable x ist das Intervall
[-1,1]. Die Nullstelle der Ableitung, nämlich x = -2 , hat hier nichts zu suchen.
Dieser Fehlschluss ist eine berüchtigte Fehlerquelle,
wie ich aus eigener Erfahrung weiß!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 08:42: |
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Falsche Resultate gehören bei Friedrich zum Standard! |
Andreas
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 16:08: |
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Herzlichen Dank an Friedrich
JEDER Mensch kann sich irren - also mach Dir nichts draus!
Siehe übrigens:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/128588.html?1033791402,
und an megamath, jetzt ist mir die Sache klar!
Andreas |
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