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Lisette
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 07:15: | 
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Hi,
ich sitze bei meinen Prüfungsvorbereitungen und komme mit folgendem Beweis nicht weiter:
Beweise:
es gilt für n>=2:
(n+1)^n > 2^n*n!
Es wäre riesig nett, wenn mir da jemand helfen könnte!
Lisette |
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 08:05: |
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Hi Lisette,
Wenn man die Ungleichung äquivalent umformt zu
( n + 1 ) / 2 > ( n ! ) ^ (1 / n) , so erkennt man , dass die Folge
der natürlichen Zahlen 1 , 2 , ……., n eine Rolle spielt.
Das arithmetische Mittel a dieser Zahlen ist
a = 1 / n * [ n * ( n + 1 ) ] / 2 = 1 / 2 * ( n + 1 ) ,
das geometrische Mittel g ist
g = [ 1 * 2 * ….* n ] ^ ( 1 / n ) = [ n ! ] ^ ( 1 / n ).
Aus der bekannten Ungleichung über das arithmetIsche
und geometrische Mittel (a > g , hier ohne Gleichheit ) folgt direkt :
1 / 2 * ( n + 1 ) > [ n ! ] ^ ( 1 / n ) , q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. Moser, megamath.
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Lisette
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 09:12: |
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Hi megamath,
das ist klar und einleuchtend,
ich danke Dir sehr,
jetzt komme ich auch bei anderen ähnlichen Aufgaben gut voran!
Lisette |
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