| Autor |
Beitrag |
    
Hannes (jig)
Neues Mitglied
Benutzername: jig
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 16:17: | 
|
Folgende Aufgabe:
Wie Groß ist das Volumen eines Torus mit dem Ringradius R und Querschnittradius r?
Klar ist : V = pi Integral(f(x)^2) dx
Mein Ansatz:
Der Torus ist ein in Y-Richtung um R verschobener Kreis mit dem Radius r, der um die X-Achse Rotiert.
Daraus hab ich folgende f(x) hergeleitet:
y = +- sqrt(r^2 - x^2) - R (falsch???)
Es ergibt sich:
V = pi integral(sqrt(r^2 - x^2) - R)^2 dx
Wenn man das Binom löst hat man drei Integrale, zwei sind leicht und eins ist dieses:
integral sqrt(r^2 - x^2) dx
Nach Formelsammlung mit x = r sin u substituieren.
Hier komme ich nicht weiter, die ganze Aufgabe hab ich hier gepostet falls der Ansatz falsch ist bzw. es einen besseren gibt.
Danke für Hilfe
Jig
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 528
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 16:59: |
|
Hi Hannes
Also von der Idee her würde ich sagen, dass das richtig ist. Ich weiss jetzt nicht genau, was R ist. In deinem Fall wäre R die Länge der Strecke von Ursprung bis zum Mittelpunkt der Querschnittsfläche. Falls R bis ans "Ende" der Querschnittsfläche reichen soll, dass musst du nochmal r addieren.
Jetzt zu dem Integral am Ende.
Die Substitution kommt daher zustande, dass
sin²(x)+cos²(x)=1 ist.
bzw.
1-sin²(x)=cos²(x)
Substitution:
x=r*sin(u)
dx/du=r*cos(u)
dx=r*cos(u)*du
int(sqrt(r^2-x^2)dx)
=int(sqrt(r^2-r^2*sin²(u))*cos(u)*du)
=int(r*sqrt(1-sin²(x))*cos(u)*du)
=r*int(cos²(u)du)
Das kannst du jetzt mit partieller Integration lösen oder in einer Formelsammlung nachschauen.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 20:06: |
|
Hi Hannes,
das Torusvolumen ist viel einfacher zu berechnen!
Mich wunderts, das Christian das nicht erkennt:-)
Fasse den Torus als Zylinder auf!
Grundfläche Zylinder: p*r²
Höhe des Zylinders:h=2*p*R
Volumen=Grundfläche*Höhe=2p²*r²*R
V=2p²r²R
Gruß N.
ps: Das Zylindervolumen läst sich per Integration notfalls herleiten...
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 530
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 14:20: |
|
Stimmt, das is schon "etwas" einfacher 
|
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 13:21: |
|
Hi Hannes,
nochmal zum Torusvolumen zur Integration:
VTorus=p*ò0 2pR r²dx=2p²r²R
Gruß N. |
Hannes (jig)
Neues Mitglied
Benutzername: jig
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 17:03: |
|
Hi, Niels...
ist schon richtig, daß deine Lösung einfacher ist.
Es geht allerdings darum das Volumen eines Rotationskörpers mit Hilfe der Integralrechnung zu berechnen. Trotzdem danke.
Allerdings könntest du mir noch sagen wie man das Integralzeichen hier eingibt ;)
Gruß
Hannes
|
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 19:13: |
|
Hi Hannes,
1) Ich habe doch das Volumen eines Rotationskörpers per Integration berechnet.
Ich habe die konstante Funktion y=r um die x-Achse gemäß der Formel
V=p*òa b [f(x)]² dx
rotieren lassen.
Bei mir gilt:
a=0
b=2pR
f(x)=r
Das Ergebnis kennst du ja!
2) Schau bitte in den Formatierungsinformationen nach! Das ist für mich einfacher als dir das zu erklären....
viele Grüße
Niels |
