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Karo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 11:58: | 
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Hi,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Anleger ADAM hat 100.000 Euro geerbt und erwägt verschiedene Möglichkeiten, damit umzugehen. Beantworten Sie dazu folgende Fragen! Gehen Sie dabei davon aus, das etwaige Geldanlagen genau zu Beginn eines Jahres erfolgen und die entsprechenden Zinsen jeweils jährlich nachschüssig gutgeschrieben werden.
1.) Er will die vollen 100.000 zu 6% anlegen, jedoch vom Ende des ersten Jahres bis zum Ende des fünften Jahres einen gleich bleibenden Betrag in einer solchen Höhe abheben, dass das Konto nach der letzten Abhebung gerade „leer“ ist. Welchen Betrag könnte er dann jährlich entnehmen?
2.)Er will von den 100.000 jetzt nur so viel zu 6% anlegen, dass er – nach entsprechender Vereinbarung mit der Bank – vom Ende des ersten bis zum Ende des fünften Jahres jeweils genau 10.000 abheben kann und das Konto nach der letzten Abhebung gerade „leer“ ist. Welchen Betrag könnte er dann sofort ausgeben?
3.)Er will von den 100.000 jetzt nur so viel zu 6% anlegen, dass er nach fünf Jahren einschließlich Zins- und Zinseszins wieder über 100.000 verfügt. Welchen Betrag könnte er dann sofort ausgeben?
Danke! |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1360
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 17:15: |
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Hallo Karo. Hierzu brauchen wir zu nächst eine Formel.
K0 sei das Kapital, das am Anfang angelegt wird und Kn sei das Kapital nach n Jahren.
Bei Aufgabe 1 also K0 = 100000, n = 5, K5 = 0.
p sei der Zinssatz - bei dir p = 6%.
B sei der Betrag, der am Ende eines jeden Jahres einbezahlt wird. Bei dir ist B negativ, da AUSgezahlt werden soll.
Dann gilt
Kn = K0 (1 + p)n + B ((1 + p)n - 1)/p
Hattet ihr diese Formel vielleicht?
Jetzt die bekannten Werte einsetzen, nach der fehlenden Größe auflösen und in den Tachenrechner eintippen.
1) 0 = 100000 * 1,065 + B * (1,065 - 1)/0,06
=> B = -23739,64
2) 0 = K0 * 1,065 - 10000 * (1,065 - 1)/0,06
Der gesuchte Betrag ist dann 100000 - K0
3) 100000 = K0 * 1,065 + 0 * (1,065 - 1)/0,06
Der gesuchte Betrag ist dann 100000 - K0 |
Constantin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 18:27: |
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Hallo,
hier noch ein Vorschlag, der ohne die Formel in rot auskommt, an dem aber deutlich wird, wie sie zustandekommen kann:
1.)
Fasse die beiden Prozesse
1) Addition der Zinsen zum Guthaben
2) jährliche Entnahme festen Betrages R
so auf, als ob sie auf einem unterteilbaren Konto mit Soll- und Habenseite abliefen:
Kürze ab: q=1+0,06
Anzahl € auf Habenseite des Kontos:
Anfangsstand: K
Endstand: K * q^5
Sollseite des Kontos nach Ablauf des 4. Jahres:
S4 k=1Rqk
geometr. Reihe: R * S4 k=1qk = R*(q^5 -1)/(q-1)
Kontostand auf der Sollseite:
R*(1,06^5 -1)/0,06 = 5,637093*R
Soll- und Habenseite müssen gleich sein, also:
K * q^5 = R*(q^5 -1)/(q-1)
in Zahlen:
100 000 * 1,06^5 = 133 822,56 = 5,637093*R
=> R = 23 739,64
jährliche Entnahme: 23 739,64 €
2.)
Verallgemeinerung der Formel aus 1.):
K * q^5 = R*(q^5 -1)/(q-1) |:q^5
K = R*(1 -q^(-5))/(q-1) (vgl. Kn = K0 q^n + B (q^n - 1)/p )
also
K = 10000*(1-1,06^(-5))/0,06 = 42 123,64
also
100 000 - K = 57 876,36
57 876,36 € könnte er dann sofort ausgeben.
3.)
100 000 = K * 1,06^5
100 000 - K = 25 274,18
25 274,18 € könnte er dann sofort ausgeben.
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Constantin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 21:58: |
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Die untere Summengrenze habe ich falsch abgetippt: sie muss k=0 heißen.
n | Sollbetrag
_______________
0 | 0
1 | R
2 | Rq+R
3 | Rq²+Rq+R
4 | Rq³+Rq²+Rq+R
5 | Rq4+Rq³+Rq²+Rq+R
Summenformel geometr. Reihe:
Rq4+Rq³+Rq²+Rq+R = R * S4 k=0qk = R*(q^5 -1)/(q-1)
Beim Vergleich beider Formeln habe ich die falsche Zeile blau markiert, so ist der Zusammenhang vielleicht besser zu erkennen:
K * q^5 = R*(q^5 -1)/(q-1)
=K * q^5 = R*(q^5 -1)/p
Kn = K0 q^n + B (q^n - 1)/p
(also mit R>0 gilt wegen B=-R dann B<0)
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Ahnungslose (Ahnungslose)
Neues Mitglied
Benutzername: Ahnungslose
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2008
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2008 - 15:25: |
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der thread ist zwar schon etwas älter, aber da es gut zu meinem problem passt, schreibe ich mal eben hier rein.
der fall ist im prinzip ähnlich dem von karo unter 1.). nur sind die abzuhebenden beträge unterschiedlich hoch. habe jetzt ewig probiert und bekomme es leider nicht hin. kann mir vielleicht da jemand helfen?
vielen dank. |
Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 723
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2008 - 16:32: |
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Hallo Ahnungslose,
bei gleichbleibenden Ratenzahlungen gilt:
100.000*1,06^5 - R*[(1,06^5 -1)/0,06] = 0
R = 23.739,64
bei veränderlichen Raten gilt:
100.000*1,06^5 - A*1,06^4 - B*1,06^3 - C*1,06^2 - D*1,06 - E = 0
Viele Grüße
Filipiak
Alle Angaben ohne Gewähr auf Richtigkeit!
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Ahnungslose (Ahnungslose)
Neues Mitglied
Benutzername: Ahnungslose
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2008
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2008 - 17:18: |
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hey, ich danke dir, du hast mir sehr geholfen :-) |
Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 724
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2008 - 17:30: |
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Hallo Ahnungslose,
freut mich, dass ich dir helfen konnte.
Viele Grüße
Filipiak
Alle Angaben ohne Gewähr auf Richtigkeit!
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