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Beitrag |
    
Tina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 13:51: | 
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Hallo ihr Lieben,
hab n kleines Problem:Hab mich jetzt im WS für Informatik eingeschrieben und besuch grad n 2-wöchigen Vorkurs für Mathematik/Info/Physikstudenten.Da ich in der Schule leider "nur" GK Mathe hatte, fällt mir der Stoff net ganz so leicht.
´S wär jetzt echt suuuper lieb von euch, wenn sich jemand erbarmen könnte und mir die Grundlagen der komplexen Zahlen (idiotensicher) erklären würde, da ich wie gesagt in der Schule nie was davon gehört hab.
Vielen, vielen Dank, eure Tina |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 15:17: |
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Hi Tina
Also zunächst einmal wurden die komplexen Zahlen eingeführt, damit man beispielsweise Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann. Dazu wurde die imaginäre Einheit i (teilweise auch mit j bezeichnet) eingeführt. Definiere:
i^2=-1
Also i=Wurzel(-1)
Eine Zahl z wird komplex genannt, wenn so von der Form
z=x+i*y
ist, wobei x und y reelle Zahlen sind.
Man nennt x Realteil und y Imaginärteil.
Ist y=0, so hast du eine normale reelle Zahl. Der Körper der reellen Zahlen ist also eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Rechnen kannst du eigentlich ganz normal mit den komplexen Zahlen, du musst halt nur beachten, dass i^2=-1 ist.
Z.B.
(3+4i)*(2-i)=6-3i+8i+4=10+5i
Vielleicht noch ein paar Begrifflichkeiten. Man nennt z'=x-i*y die zu z=x+i*y konjugiert komplexe Zahl.
Hast du einen Bruch mit komplexem Nenner, so kannst du diesen reell machen, indem du mit dem konjugiert komplexen Nenner multiplizierst. Z.B.
(3+4i)/(1+i)=(3+4i)*(1-i)/((1+i)(1-i))
=(7+i)/2=7/2+1/2*i
Den Betrag einer komplexen Zahl berechnest du wie folgt:
|z|=Wurzel(x^2+y^2)
Z.B.:
|-3+4i|=Wurzel(9+16)=5
Jetzt noch eine ganz besondes wichtige Formel für die komplexen Zahlen.
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
Die Formel stammt von Euler. Du kannst sie dir über die Taylorentwicklung der e-Funktion, sin- und cos-Funktion herleiten. x wird in diesem Zusammenhang das Argument der komplexen Zahl genannt.
Ein Beispiel, wo du sie verwenden kannst:
Zu berechnen ist z:
z^2=3+4i
Jetzt schreibst du die 3+4i also Potenz von e nach der obigen Formel:
r*e^(i*x)=r*cos(x)+r*sin(x)
=>
r*cos(x)=3
r*sin(x)=4
=>
tan(x)=4/3
=>x=0,93
=>r=5
Es gilt also:
5*e^(i*(0,93+2*k*Pi))=3+4i , k aus N
Die 2Pi entstehen durch die Periodizität der sinus- und cosinus-Funktion.
Jetzt kannst du einfach die Potenzgesetze anwenden:
z^2=3+4i=5*e^(i*(0,93+2*k*Pi)) , k aus N
z=Wurzel(5)*e^(0,465*i+i*k*Pi)
Jetzt setzt du für k erstmal 0 und dann 1 ein. Du erhältst damit alle Werte.
Also:
z=Wurzel(5)*e^(0,465*i)=2+i
z=Wurzel(5)*e^((0,465+Pi)*i)=-2-i
Ich habe hier ein paar gerundete Werte verwendet, falls du nachrechnen solltest.
Allgemein erhältst du, wenn du die n-te Wurzel ziehst n Lösungen. Zeichnest du die in die gaußsche Zahlenebene ein, so bekommst du ein regelmäßiges n-Eck.
Zur gaußschen Zahlenebene:
Um komplexe Zahlen darzustellen zeichnest du einfach ein ganz normales Koordinatensystem, wobei du auf der 1.Achse den reellen-Teil abträgst und auf der 2. Achse den Imaginärteil.
Soviel jetzt erstmal von mir. Falls du Fragen hast, kannst du dich ja nochmal melden.
MfG
C. Schmidt |
Tina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 21:02: |
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Vielen lieben Dank, Christian!
Deine Ausführungen und Beispielaufgaben haben mir echt geholfen den Stoff von Anfang an richtig zu begreifen.
MFG, Tina |
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