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Matrix aufstellen (schreibe morgen Kl...

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Steffi
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 09:54:   Beitrag drucken

Hi,

wenn ich eine Basis A mit a1, a2, a3 gegeben habe unf eine Abbildung Fx; wie erstelle ich dann eine Matrix von A nach A???

Bitte helft mir, es ist total wichtig


Steffi
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 12:47:   Beitrag drucken

Ich verstehe deine Frage nicht.
Was meinst du mit "eine Matrix von A nach A erstellen"? Ist eine Abbildung gesucht, die A wieder auf A abbildet? Das meinst du doch wohl nicht, oder?
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Steffi
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 12:58:   Beitrag drucken

Krieg das mit dem Formatieren nicht besser hin...

Jede Abbildung ist doch eine Matrix. Gesucht ist jetzt eine Matrix zu einer Abbildung F: A-> A.
Wenn ich mir F aber nur die Basisvektoren abbilde, kommt noch nicht das richtige heraus.

Warum?

Danke

Steffi
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 13:31:   Beitrag drucken

Hm, vielleicht reden wir ja immer noch aneinander vorbei, aber die Abbildung, die eine Matrix auf sich selbst abbildet, ist ganz einfach die Einheitsmatrix.
|1 0 0|
|0 1 0| = F
|0 0 1|
Hier ist in jedem Fall FA=A
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 13:32:   Beitrag drucken

Vielleicht verstehe ich dich jetzt.
Wird die Abbildung G gesucht, die FA wieder auf A abbildet, also die Umkehrabbildung?
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Steffi
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 13:49:   Beitrag drucken

Also: gegeben ist die Basis V(Unterraum des R3) mit v1=( 2 2 -1), v2 = (1 -2 -2), v3=(-2 1 -2) und
Fx=5*(x*v2)*v2

Zu berechen: M (Standardbasis->Standardbasis), also einfach e1, e2 und e3 in F einsetzen, und M (V->V). Ich setze v1, v2 und v3 ein. Bei Fv1 und Fv3 kommt Null heraus, unf Fv2=5*v2.

So. Nunsteht in der Musterlösung folgende Matrix:

000
050
000

Das sieht mir eher danach aus, als hätten die 5*e2 statt 5*v2 gerechnet, das Ergebnis ist aber definitiv OK.
Folglich müssen die doch irgendetwas gemacht haben, tranbsformiert, oder so...


Nochmal Danke

Steffi
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 15:14:   Beitrag drucken

Jetzt ist dein Problem klar.
Hm, erst mal zur Schreibweise. Die Matrix mit den Spaltenvektoren a, b und c schreibe ich [a,b,c].

Die Matrix M für die Abbildung M (Standardbasis->Standardbasis) ist (wie du ja auch schon geschrieben hast) M=[Fe1,Fe2,Fe3], also y=Mx

Nun führst du einen Basiswechsel durch.
Ein Vektor x', der in der V-Basis gegeben ist, etwa x'=av1+bv2+cv3, läßt sich mit der Matrix
A=[v1,v2,v3] in einen Vektor x der Standardbasis transformieren: x=Ax'.
Das Ganze geht auch in die andere Richtung: x'=A-1x.

Gesucht ist also die Matrix N, für die y'=Nx' der Abbildung entspricht.
Wenn du N=A-1MA setzt, erhälst du das gewünschte Ergebnis:
Nx' = A-1MAx' = A-1Mx = A-1y = y'

War das verständlich?
Du mußt also die Inverse Matrix zu [v1,v2,v3] aufstellen und dann einfach die matrizen nacheinander multiplizieren.

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