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Beitrag |
    
Michael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 13:49: | 
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Hallo,
suche einen Lösungsweg für die Aufgabe:
lim x->0 für (arctan^2(ax)/x^2) mit a > 0
Die einzige Idee, die ich da habe ich den ganzen Ausdruck mit Hilfe der Potenzgesetze in die 2 Potenz zu erheben. Aber dann habe ich ja immer noch einen Unbestimmten Ausdruck innerhalb der Klammer. Was soll man da tun? Substitution? Rückführung auf bekannten Grenzwert?
Wäre für jede Hilfe dankbar.
Liebe Grüße,
Michael |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 14:39: |
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Hi Michael,
verwende die Reihenentwicklung von arctan(x) = x - 1/3 x^3 + O(x^5)
(arctan(a*x) / x)^2 = ((a*x - 1/3 a^3*x^3 + O(x^5)) / x)^2 = a^2 + O(x^2) --> a^2
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 410
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 14:43: |
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L'Hospital:
ZählerAbleitung / NennerAbleitung:
lim = 2*a*[ arctan(ax)/(1+a²x²) ] / 2x
= a*arctan(ax) / [x*(1+a²x²)]
und nochmals L'Hospital
= [a²/(1+a²x²)] / [ (1+a²x²) + x*2a²x]
wo nun x->0 kein Problem mehr ist
lim = a² / [ (1+a²x²)(1+3a²x²) ] = a² |
