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zeige: ln(x)/x ---> 0 für x ---> oo...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » zeige: ln(x)/x ---> 0 für x ---> oo « Zurück Vor »

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Sizilianer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 01:03:   Beitrag drucken

Hallo

es wäre nett, wenn mir jemand zeigen könnte, wie man beweisen kann, dass
ln(x)/x gegen 0 konvergiert, wenn x gegen unendlich läuft.

Ich scheitere am Versuch, ln(x)/x < Epsilon nach x umzustellen.
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SpockGeiger (spockgeiger)
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Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger

Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 02:53:   Beitrag drucken

Hi Pate

Habt ihr denn L'Hospital noch nicht gehabt?

viele Grüße
SpockGeiger
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Ziege
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 08:00:   Beitrag drucken

Hallo Sizilianer,
für jedes x>=1 ist: 0<1/x<=1/sqrt(x)

1/x ist aber die Ableitungsfunktion von ln(x)
und 1/sqrt(x) ist die Ableitungsfunktion von 2*sqrt(x)

Mittelwertsatz auf die Funktionen ln(x) und 2*sqrt(x) angewendet, ergibt:
auf dem Intervall [1, x] ist
ln(x) - ln(1) <= 2*sqrt(x) - 2

also für alle x>=1 gilt 0<=ln(x)/x <= 2/sqrt(x) - 2/x
daher 0 <= ln(x)/x <= 2/sqrt(x)

und mit limx->oo 2/sqrt(x) = 0
muss sein: limx->oo ln(x)/x = 0
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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 314
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 08:58:   Beitrag drucken

Hallo ,

Vorschlag: Gehe aus von der Exponentialreihe

ez = Sinf n=0zn/n!.

Daraus folgt für beliebiges p in |N und z>0

ez > zp+1/{p+1}!

==> zp/ez < (1/z)*(p+1)!

also zp/ez -> 0 für z->{inf}

Setze darin z = ln x :

(ln x)p/x ->0 für x->{inf}

sogar für jedes
(noch so grosse) p .
mfg

Orion
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Sizilianer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 16:46:   Beitrag drucken

Hallo Antwortende,

scusi
SpockGeiger und Ziege,

Ich habe versäumt, vorauszusetzen, dass ich keine Ableitungen verwenden will und deswegen den Mittelwertsatz nicht benutzen kann.
Und die Anwendung von L'hospital muss daher auch ausfallen, oder?

Dennoch vielen Dank an Ziege für das Zeigen so einer tricky tricky Schätzmethode.

Und natürlich danke ich Orion für diesen leicht verständlichen Beweis.

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