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Sizilianer
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 01:03: |
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Hallo es wäre nett, wenn mir jemand zeigen könnte, wie man beweisen kann, dass ln(x)/x gegen 0 konvergiert, wenn x gegen unendlich läuft. Ich scheitere am Versuch, ln(x)/x < Epsilon nach x umzustellen.
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 576 Registriert: 05-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 02:53: |
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Hi Pate Habt ihr denn L'Hospital noch nicht gehabt? viele Grüße SpockGeiger |
Ziege
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 08:00: |
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Hallo Sizilianer, für jedes x>=1 ist: 0<1/x<=1/sqrt(x) 1/x ist aber die Ableitungsfunktion von ln(x) und 1/sqrt(x) ist die Ableitungsfunktion von 2*sqrt(x) Mittelwertsatz auf die Funktionen ln(x) und 2*sqrt(x) angewendet, ergibt: auf dem Intervall [1, x] ist ln(x) - ln(1) <= 2*sqrt(x) - 2 also für alle x>=1 gilt 0<=ln(x)/x <= 2/sqrt(x) - 2/x daher 0 <= ln(x)/x <= 2/sqrt(x) und mit limx->oo 2/sqrt(x) = 0 muss sein: limx->oo ln(x)/x = 0 |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 314 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 08:58: |
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Hallo , Vorschlag: Gehe aus von der Exponentialreihe ez = Sinf n=0zn/n!. Daraus folgt für beliebiges p in |N und z>0 ez > zp+1/{p+1}! ==> zp/ez < (1/z)*(p+1)! also zp/ez -> 0 für z->{inf} Setze darin z = ln x : (ln x)p/x ->0 für x->{inf} sogar für jedes (noch so grosse) p . mfg Orion
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Sizilianer
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 16:46: |
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Hallo Antwortende, scusi SpockGeiger und Ziege, Ich habe versäumt, vorauszusetzen, dass ich keine Ableitungen verwenden will und deswegen den Mittelwertsatz nicht benutzen kann. Und die Anwendung von L'hospital muss daher auch ausfallen, oder? Dennoch vielen Dank an Ziege für das Zeigen so einer tricky tricky Schätzmethode. Und natürlich danke ich Orion für diesen leicht verständlichen Beweis.
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