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Beitrag |
    
Tantor (tantor)
Junior Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 09:06: | 
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Hallo,
ich befinde mich gerade in der Vorbereitungsphase für meine Zwischenprüfung daher diese ganzen Fragen mit Induktionen etc.
Bei den Induktionen braucht man ja ein paar Basics sage ich mal um es einfacher zu habe, z.b.:
Summe (k=1 bis n) von k = n*(n+1)/2
welche solcher Summen-oder Produktformeln sollte man als Basics denn so drauf haben, also aus dem Stehgreif wissen ? |
Stefan (walliworld)
Mitglied
Benutzername: walliworld
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 09:46: |
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Hi Tantor,
spontan fallen mir erstmal nur 2 ein:
1. Summe(k=1 bis n) von k² = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)
2. Summe(k=0 bis n) von q^k = (1-q^(n+1))/(1-q)
Gruß Stefan |
Mentor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 22:56: |
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Hallo Tantor, Hallo Stefan.
Die 1. Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen kann ich mit Sicherheit nicht auswendig; würde es sich lohnen, sie auswendig zu wissen, würde es mich natürlich interessieren, wofür es sich lohnt.
Ich halte nicht viel vom auswendig lernen.
An die 2. Formel kann ich mich gelegentlich erinnern, aber wenn ich mir ganz sicher sein will, schlage ich die eben nach, anstatt lange durch Einsetzproben auszuprobieren ob meine Erinnerung stimmt.
Tantor:
Die von dir genannte Formel für die Summe der ersten n nat. Zahlen kenne ich mittlerweile auswendig, und weil ich persönlich es dann sehr einfach finde, mir zu merken, dass ihr Quadrat gleich der Summe der ersten n Kubikzahlen ist (ohne Beweis verwendet in http://www.lern1.de/cgi-bin/hausaufgaben/board-profile.cgi?action=editpost&postid=111128&page=4244/127542), weiß ich die inzwischen auch auswendig.
Aber ansonsten möchte ich keine weitere Meinung abgeben, was man drauf haben sollte.
gestattest du eine neugierige Frage von mir?
wenn ja:
Kannst du mir erklären, was "Stehgreif" bedeutet? |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 466
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 10:06: |
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"Stehgreif" heißt in dem Zusammenhang wohl soviel wie ohne weiter nachdenken zu müssen.
Und zur Induktion würde ich mir vielleicht auch mal Ungleichungen anschauen.
z.B. als Standardbeispiel die Bernoulli-Ungleichung. Findest du hier(Aufgabe 1):
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/127509.html?1031600120
MfG
C. Schmidt
ps: Wofür man die Summe der Quadratzahlen braucht, weiss ich auch nicht direkt, aber man kann sich die Formeln für Quadratzahlen, Kubikazahlen usw. auch einfach herleiten. Falls es jemanden interessiert kann ich es ja hier mal zeigen. |
Mentor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 00:04: |
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habe ich das dann richtig interpretiert:
Für die Sachen, die man sich "aus dem Stehgreif" heraus greifen kann, muss man nicht hochspringen oder sich sonstwie sonderlich verrenken, sondern man kommt bereits bequem aus dem "Stehen" (also nur mit mäßig erhöhter Anstrengung) dicht genug heran, um sie zu (be)greifen? |
Eckhard Schlemm (toxical)
Mitglied
Benutzername: toxical
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 18:25: |
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@Mentor: So wird es wohl sein^^
@Cristian: Mich würde es schon interessieren, wie man die summe der ersten n quadrat (Kubik-) Zahlen herleitet.
Also, wenn es nicht zu aufwändig ist...:-) |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 742
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Februar, 2003 - 01:24: |
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Hi!
Ich kann mal versuchen, die Formel für Quadratzahlen aus dem "Stehgreif" herzuleiten:
Si=1n(i2) = 1 + 4 + 9 + ... + n2
= 1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + ... + (1+3+5+...+(2n-1))
= n + 3(n-1) + 5(n-2) + 7(n-3) + ... + (2n-1)*1
=Si=1n((2i-1)(n+1-i))
Also:
Si=1n(i2) = Si=1n(2in - n + 2i - 1 - 2i2 + i)
<=>
3Si=1n(i2) = 2nSi=1n(i) - n2 + 2Si=1n(i) - n + Si=1n(i)
= (2n+3)Si=1n(i) - n2 - n
= (2n+3)*n(n+1)/2 - n(n+1)
= (2n+3-2)*n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+1)/2
Jetzt noch durch 3 dividieren:
Si=1n(i2) = n(n+1)(2n+1)/6
Ich denke, es ist nicht sonderlich schwer, aber im Eifer des Gefechts kann man froh sein, wenn man eine Formelsammlung zur Hand hat...
MfG
Martin |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 743
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Februar, 2003 - 09:08: |
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Dann versuche ich es jetzt mal mit der Summe der ersten n Kuben (ist sogar einfacher):
Wir stellen fest:
Si=11(i3) = 1 = 12
Si=12(i3) = 1+8 = 9 = 32
Si=11(i3) = 1+8+27 = 36 = 62
usw.
Wir sehen irgendwann, dass die Summe der ersten n Kuben gleich der Summe der ersten n natürlichen Zahlen zum Quadrat ist:
Si=1n(i3) = [Si=11(i2)]2 = [n(n+1)/2]2
Da das jetzt sehr intuitiv ging, wollen wir das sogar beweisen (per Induktion):
IA (n=1):
Si=11(i3) = 1 = [1(1+1)/2]2 passt!
IV:
Si=1n(i3) = [n(n+1)/2]2
IS (n -> n+1):
Si=1n+1(i3) = Si=1n(i3) + (n+1)3
= Si=1n(i3) + 4(n+1)(n+1)2/4
= n2(n+1)2/4 + (4n+4)(n+1)2/4
= (n2 + 4n + 4)(n+1)2/4
= (n+2)2(n+1)2/4
= {(n+1)[(n+1)+1]/2}2
q.e.d.
So, das ging doch flott, oder?
Trotzdem: Dafür gibt es Formelsammlungen, alles andere ist Zeitverchwendung oder Beschäftigungstherapie (es sei denn, man lernt es gerade...)
MfG
Martin |
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