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Beitrag |
    
Tibor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 17:12: | 
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Hallo,
ich habe in einem anderen Forum eine Aufgabe gefunden, deren Lösung mich brennend interessiert:
Wie berechnet man den Wert der Reihe
Sn=0¥ 2^n/(3^n - 1) ?
Hat irgendjemand eine Idee?
MfG Tibor |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 19:06: |
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Hi Tibor,
eine explizite Formel sehe ich nicht aber man kann die Reihe (n muss wohl > 0 sein) in eine schnell konvergierende Reihe transformieren:
S¥ n=1 2^n/(3^n - 1) = S¥ n=1 2/(3^n - 2)
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 461
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 19:27: |
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Hi egal
Kannst du mir mal deine Umformung erklären. Ich verstehe nicht, warum das gleich sein soll...
Wieso fällt auch einmal das ^n bei der 2 weg??
MfG
C. Schmidt |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 10:17: |
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Das ist nicht besonders aufregend:
S¥ n=1 2^n / (3^n - 1) =
S¥ n=1 (2/3)^n * 1 / (1 - 1/3^n) =
S¥ n=1 (2/3)^n * S¥ k=0 3^(-kn) =
S¥ k=1 S¥ n=1 (2/3^k)^n =
S¥ k=1 (1 / (1 - 2/3^k) - 1) =
S¥ k=1 (3^k / (3^k - 2) - 1) =
S¥ k=1 2 / (3^k - 2)
Der Vorteil ist eben das diese Reihe exponentiell konvergiert.
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 311
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 10:22: |
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Tibor,
Hier ein Hinweis: Eine Reihe der Form
S(x) = S¥ 1an*xn/(1-xn)
heisst Lambert'sche Reihe. S(x) konvergiert
für |x| < 1. Im gegebenen Fall ist übrigens
an = 2n, und der gesuchte Reihenwert
ist = S(1/3). Eine explizite Auswertung ist
mir nicht bekannt . Die Umformung von egal
gewinnt man, indem man xn/(1-xn)
als geometrische Reihe schreibt und
alsdann die Reihenfolge der Summationen
vertauscht.
mfg
Orion
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