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Tantor (tantor)
Junior Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 12:12: | 
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Hallo,
ich soll folgende Aufgaben mittels Induktion beweisen, aber ich komme da irgendwie nicht sehr weit:
a) Produkt von k=1 bis n von ( 1 + ( 1/(n+k)))=2-(1/(n+1))
b) Produkt von k=2 bis n von ((k+1)/(k-1))^2=
Summe von k=1 bis n von k^3 für n>=2
c) Summe von k=0 bis n von ( (n+k) über k)*x^k
= 1/((1-x)^n+1) für |x|<1
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen kann. Bei der letzten bekomme ich noch nicht mal den Anfang hin, also für n=1.
Danke |
Mentor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 23:36: |
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Hallo Tantor,
Wenn du nachher die b) verstanden hast, versuch die a) nochmal selbst, die ist dann wirklich sehr, sehr leicht. Einfach das Produkt von k=1 bis n+1 hinschreiben und den Faktor für n+1 abspalten, den Restfaktor kannst du nach Induktionsvoraussetzung durch 2-(1/(n+1)) ersetzen, und dann steht die Behauptung für n+1 anstatt n schon da.
b)
Beh.:
P(k=2;n) ((k+1)/(k-1))² = S(k=1;n) (k³)
k=2: Beh. gilt.
Es sei (Formelsammlung) bekannt, dass
S(k=1;n) (k³) = (n*(n+1)/2)² ist.
Dann bleibt zu zeigen, dass daraus
P(k=2;n+1) ((k+1)/(k-1))² = ((n+1)*(n+2)/2)² folgt.
P(k=2;n+1) ((k+1)/(k-1))²
= (n+2)²/n² * P(k=2;n) ((k+1)/(k-1))²
= (n+2)²/n² * (n*(n+1)/2)²
= (n+2)²/n² * n²*(n+1)²/2²
= (n+2)²*(n+1)²/2²
= ((n+1)*(n+2)/2)²
q.e.d.
c)
so wie die Aussage da steht, ist sie auch falsch, z.B. mit n=1 wird:
Summe von k=0 bis 1 von ( (n+k) über k)*x^k
= ( (1+0) über 0 )*x^0 + ( (1+1) über 1 )*x^1
= ( 1 über 0 )*1 + ( 2 über 1 )*x
= 1 + 2x
aber auf der rechten Seite steht für n=1:
1/((1-x)+1) = 1/(2-x)
1+2x ist nicht dasselbe wie 1/(2-x).
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