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Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 17:54: | 
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Ich habe einmal eine ganz interessante Aufgabe gesehen, die folgendermaßen lautet:
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten bk:
Sn k=0 bk*ki = ni / (i+1) | i element N0 und 0 £ i £ n
Um das Ganze anschaulicher darzustellen, hier noch in Matrizenform:
| | | / | 00 | 10 | 20 | ... | n0 | \ | | / | b0 | \ | | / | n0/1 | \ | | | | 01 | 11 | 21 | ... | n1 | | | | | | b1 | | | | | | n1/2 | | | | | | 02 | 12 | 22 | ... | n2 | | | * | | | b2 | | | = | | | n2/3 | | | | | | ... | ... | ... | ... | ... | | | | | | ... | | | | | | ... | | | | \ | 0n | 1n | 2n | ... | nn | / | | \ | bn | / | | \ | nn/(n+1) | / | |
Man soll nun zeigen (oder widerlegen?), dass für alle bk gilt:
bk ® 1/n | n ® ¥
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man das möglichst unkompliziert bewerkstelligen könnte?
Mittels Computer habe ich versucht, diese Behauptung numerisch zu überprüfen, jedoch tendieren die Lösungen zu großen Schwankungen, aus denen man nicht gerade eine Art Konvergenz ableiten könnte - die Berechnung geht eher in die Richtung wie die, zu versuchen, für 1/x eine genaue Taylorreihe um den Punkt x=1 zu berechnen...
Grüße, Nuefz |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. September, 2002 - 13:19: |
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Hi Nuefz,
ich würde es über Koeffizientenvergleich bei einer Riemannsumme machen:
1/(i+1) = ò0 1 x^i dx = [äquidistante Unterteilung dx = 1/n]
lim(n->¥) Sn k=0 (k/n)^i * 1/n ==>
n^i / (i+1) = lim(n->¥) Sn k=0 k^i * 1/n
Koeff.vergleich mit
n^i / (i+1) = lim(n->¥) Sn k=0 k^i * bk
==> lim(n->¥) bk = 1/n
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Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 16:44: |
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Hallo egal,
Vielen Dank für deinen Vorschlag. Ich bin zwar nach längerem Nachdenken selbst auf eine ähnliche Idee gekommen, jedoch habe ich es auf bei weitem umständlichere Art versucht und musste mehrmals unbegründbare Annahmen für bestimmte Ansätze treffen...
Grüße, Nuefz |
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