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Beitrag |
    
Ute (lady22)
Neues Mitglied
Benutzername: lady22
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 14:16: | 
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Hallo! Danke, daß Du Dich für mein Problem interessierst. Auch wenn Du nur eine Ansatz-Idee hast, wäre ich sehr dankbar, weil ich hänge schon seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe:
Folgendes Problem: Habe eine endliche Menge K gegeben, diese besitzt fast alle Körperaxiome. Einzige Ausnahme: Der Punkt
(7) Zu a e K* existiert ein b e K* mit a * b = 1
(wobei K* heißt: K ohne Null) wurde ersetzt durch
(7') Für a, b e K* gilt: a*b e K*.
Wie kann ich zeigen, daß K dann ein Körper ist?
Die Richtung "K Körper => K Menge nach obiger Beschreibung" ist nicht so schwer, aber mit der umgekehrten Reihenfolge komme ich nicht zurecht. Wer kann mir helfen? |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 310
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 15:52: |
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Ute:
Zu gegebenem a in K* betrachte
die Abbildung
x ® a*x.
Diese ist injektiv, d.h.: x ‡ y ==>
a*x ‡ a*y, denn wegen (7') gilt
a*x = a*y ==> a*(x-y) = 0 im Widerspruch zu
a*(x-y) in K*. Da K* endlich ist, so
ist obige Abbildung auch surjektiv, d.h.
jedes Element von K* hat genau ein Urbild.
Das gilt speziell für 1, d.h. es gilt (7).
mfg
Orion
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1359
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 17:23: |
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Hi Ute und Orion,
ein alternativer Beweis:
Da K endlich, können die Produkte
a*a, a*a*a, ..., a^n, ...
nicht alle verschieden sein. Also gibt es n,m mit 1 < n < m, sodass
a^n = a^m.
Es folgt
a^m - a^n = a^(m-n) * (a^n - 1) = 0
Wegen (7'), m-n mal angewandt, folgt a^n - 1 = 0, also
b * a = 1 mit b := a^(n-1).
Gruß
Z. |
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