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Fixpunkt

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Fixpunkt « Zurück Vor »

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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 419
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 16:12:   Beitrag drucken

Wie kann ich zeigen, dass jede stetige Funktion
f:[a,b]->|R mit f([a,b]) Teilmenge von [a,b] mindestens einen Fixpunkt hat?

MfG
C. Schmidt
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ende (ende)
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Junior Mitglied
Benutzername: ende

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 20:04:   Beitrag drucken

Betrachte die durch g(x) := f(x) - x definierte Funktion und wende den Zwischenwertsatz fuer stetige Funktionen an.

Gruss, E.
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 426
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 20:22:   Beitrag drucken

Vielen Dank!

Hätte ich aber eigentlich selbst drauf kommen sollen, wo ichs doch schon als mit dem Zwischenwertsatz probiert hab.

Hab jetzt aber trotzdem mal noch eine Frage. Unser Lehrer hat uns mal von einer Aufgabe von der Uni erzählt. Und zwar ging es um ein Blatt Papier(jedenfalls anschaulich...). Dann hat unser Lehrer gesagt man könnte das jetzt falten oder knicken wie man wolle, wenn man es auf dann auf ein ganzes Blatt der gleichen Sorte legen würde und jeden Punkt des kaputten Blattes auf das ganze projezieren würde, dann würde auf jeden Fall ein Punkt an der gleichen Stelle bleiben. Irgendwie hört sich das Problem doch so ähnlich an nur in einer höheren Dimension. Falls jemand meine doch sehr schlechte Erklärung verstanden hat...wie kann man das beweisen??

MfG
C. Schmidt
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1347
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 23:12:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

es gilt sogar dann noch, wenn das Blatt aus Gummi ist. Du darfst es also beliebig dehnen und knüllen. Nur zerreißen darfst du es nicht. Und es darf nichts irgendwo überstehen.

Um das zu beweisen, brauchst du zwei Hilfssätze.

1. Wenn (x_n) eine Folge von Punkten auf dem Blatt Papier/Gummi ist, dann gibt es davon eine Teilfolge, die konvergent ist.

2. Wenn f eine stetige Funktion und (x_n) eine konvergente Folge ist, dann gilt lim f(x_n) = f(lim x_n).
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 430
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 14:35:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Schonmal vielen Dank für deine Antwort. Könntest du mir den Beweis vorführen, wenn er nicht allzu lang ist??

MfG
C. Schmidt
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1349
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 17:36:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

mein Gedanke hat sich als Flopp erwiesen. Bin mir aber recht sicher, dass das Ergebnis stimmt. Muss noch mal drüber nachdenken.

Z.
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1351
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. September, 2002 - 20:56:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

habe ein paar alte Unterlagen gewälzt. Der Sachverhalt ist unter "Brouwer'scher Fixpunktsatz" bekannt. Der Beweis ist i. A. erst Thema einer weiterführenden Vorlesung nach dem Vordiplom. Er ist eine relativ einfache Folgerung aus einem recht tiefliegenden Ergebnis der Homotopietheorie (Bereich der Topologie). Dieser Satz ist übrigens intuitiv möglicherweise einleuchtender als der Brouwer'sche Fixpunktsatz. Aber leider sehr knifflig zu beweisen. So lautet er:

Es sei K der Kreis {(x,y) | x² + y² <= 1}} und R der Kreisrand {(x,y) | x² + y² = 1}.

Dann gibt es keine stetige Funktion f: K -> R mit f(x) = x für alle x aus R.

(Statt eines Kreises und seinem Rand kannst du auch irgend eine andere kompakte und konvexe Teilmenge des R² betrachten. Z. B. ein Rechteck.)
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 444
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. September, 2002 - 21:20:   Beitrag drucken

Vielen Dank Zaph!

Ich hab mal in google nach diesem Fixpunktsatz gesucht. Da stand als Voraussetzung dafür bräuchte man Analysis I und II und lineare Algebra I. So weit bin ich als Schüler leider noch nicht. Wenns soweit ist schau ich mir das auf jeden Fall nochmal an ;)

MfG
C. Schmidt

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