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ronny rüger (ronny77)
Neues Mitglied
Benutzername: ronny77
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 13:19: | 
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Hi Leute! Hab 'ne lustige Aufgabe für euch! Ist ganz interessant,aber knifflich!
Man ermittle alle diejenigen positiven ganzen Zahlen,die nicht als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar sind!
Viel Spaß! |
Juppy (juppy)
Junior Mitglied
Benutzername: juppy
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:24: |
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Hi ronny
danke, hat Spaß gemacht.
Hier die Lösung:
Eine positive ganze Zahl lässt sich immer
auf eine der vier Weisen 4n+1, 4n+2, 4n+3 oder 4n+4 darstellen.
Dafür gilt immer eine dieser drei Behauptungen:
1) alle ungeraden Zahlen sind darstellbar,
also alle Zahlen der Formen 4n+1 und 4n+3
2) alle Zahlen der Form 4n+4 sind darstellbar.
3) alle Zahlen der Form 4n+2 sind nicht darstellbar.
Beweis:
1) Da 2n+1 identisch mit (n+1)² - n² ist,
sind mit einem geeignet gewählten n
stets alle ungeraden Zahlen 2n+1, also alle 4n+1
sowie auch 4n+3 auf die geforderte Weise darstellbar,
eben als Differenz der Quadrate von n+1 und n.
2) Jede beliebige vorgegebene Zahl 4n+4 lässt sich schreiben als:
4n+4 = (n+2)² - n², also auch auf die geforderte Weise.
3) jede Zahl der Form 4n+2 ist nicht darstellbar als Differenz der Quadratzahlen a² und b², denn 4n+2 müsste sich sonst als a²-b² schreiben lassen:
4n+2 = a²-b² <=>
2*(2n+1) = (a-b)*(a+b)
Die linke Seite 2*(2n+1) enthält den Primfaktor 2 genau einmal,
da der Faktor 2n+1 den Primfaktor 2 nicht enthalten kann,
weil er eine ungerade Zahl ist.
Auf der rechten Seite steht das Produkt (a-b)*(a+b),
für das eine der beiden Möglichkeiten u oder g gelten muss:
u) Wenn a-b ungerade ist, ist auch a+b ungerade,
dann enthält das Produkt (a-b)*(a+b) den Primfaktor 2 gar nicht;
g) Wenn a-b gerade ist, ist auch a+b gerade,
dann enthält das Produkt den Primfaktor 2 genau zweimal.
In beiden Fällen kann die Primfaktorzerlegung des Terms 2*(2n+1)
auf der linken Seite nicht mit der des Terms auf der rechten Seite übereinstimmen.
Somit sind die Behauptungen 1, 2 und 3 bewiesen
und als Konsequenz daraus lautet die Antwort auf die Frage also:
Alle Zahlen, die nicht als Differenz
zweier Quadratzahlen darstellbar sind,
sind immer von der Form 4n+2.
mfG
Juppy |
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