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Beitrag |
    
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 18:27: | 
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Hi,
ich suche einen ausführlichen Beweis der Existenz der Vervollständigung eines metrischen Raumes.
gruß clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1327
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 00:24: |
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Hallo clara,
soweit ich mich erinnere, ist das eine ziemlich "technische" Angelegenheit.
Und soweit ich mich erinnere, ist ein metrischer Raum (X,d) "vollständig", wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Die Grundidee ist, zu X alle nicht-konvergenten Cauchy-Folgen hinzuzunehmen, um ihn vollständig zu machen.
Betrachte dazu den Raum C aller Cauchy-Folgen und versehe ihn mit einer Äquivalenzrelation:
(x_n) ~ (y_n)
<=>
für alle e > 0 existiert n0, sodass für alle n, m > n0 gilt d(x_n,y_m) < e.
(Zeige, dass das wirklich eine ÄR ist!)
Nun betrachte C/~, den Raum der Äquivalenzklassen.
Auf C/~ muss jetzt eine Metrk definiert werden:
D((x_n)/~,(y_n)/~) := lim d(x_n,y_n)
Zeige, das diese Definition wohldefiniert ist.
In C/~ wird X eingebettet: x -> i(x) := (x,x,x,...)/~
Zeige, dass diese Einbettung injektiv ist und dass d(x,y) = D(i(x),i(y)).
Zeige, dass (C/~,D) vollständig.
Hoffe, nix vergesen zu haben.
Gruß
Z. |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 12:46: |
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Hi Zaph,
danke für deine Mühe, aber so weit war ich auch schon. Ich habe gehofft drum herum zu kommen, mir selbst die Mühe zu machen, die Vollständigkeit zu beweisen, weil ich mein Gehirn so anstrengen muss, wenn ich Folgen von Folgen betrachte und in diesem Fall sind es ja sogar noch Folgen von Äquivalenzklassen von Folgen.
Naja, dann muss mich wohl entweder die Arbeit machen oder es bleiben lassen.
gruß clara |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 12:55: |
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Hi clara,
schau dir mal diesen Beweis an.
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:30: |
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Hi egal,
super. Danke. Es sieht schon mal ganz gut aus, was da steht. Muss es nur noch durcharbeiten.
gruß clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1330
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 20:45: |
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Hallo clara,
ich hatte lapidar geschrieben "Zeige, dass (C/~,D) vollständig." Ja, ein bisschen ist da wohl noch zu tun. Solche Ekligkeiten gehören leider manchmal zum Mathestudium. Aber du solltest dich nicht drum drücken, auch solche Sachen mal selbst zu probieren. Es übt ungemein im Umgang mit und im Verstehen von derartigen Monstren ;-)
Gruß
Z. |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 12:43: |
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Hi Zaph,
du hast natürlich recht, aber die Mathematik ist zu groß für meine Lebenserwartung, als dass ich alles lernen könnte, was ich lernen will und da muss man leider früh genug Abstriche machen, wenn man in einem speziellen Gebiet weit kommen will. Und bei "technischen Ausführungen" Abstriche mache, ist da immer noch am besten, solange man das Prinzip versteht.
gruß clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1336
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 22:39: |
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Hi clara,
kann dir leider nicht ganz Recht geben, obwohl deine Argumentation erst mal sehr nachvollziehbar erscheint. Allerdings wirst du im Laufe deines Studiums in fast allen Bereichen immer wieder auf derart abgefahrene Konstrukte stoßen. Du musst deinen Respekt davor ablegen! Am einfachsten ist das, indem du dich hin und wieder an solch unangenehme Aufgaben heranwagst. Ich hatte mein Schlüsselerlebnis, als ich mal über Weihnachten einen kompletten Aufgabenzetel zu Nichthauptultrafiltern gelöst habe.
Gruß
Z. |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 13:34: |
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Hi Zaph,
ich stehe vor meiner Hauptdiplomsprüfung und da habe ich im Laufe meines Studiums schon viele abgefahrene Konstruktionen gesehen und habe schon viele Dinge gerechnet, aber den Respekt werde ich vor der Mathematik hoffentlich nie verlieren, weil es meiner Meinung nach zum Teil wirklich großartige Leistungen von klugen Menschen sind.
Vielleicht hast Du mich aber auch nur falsch verstanden.
Ich suche die Lösung nicht, weil ich an meiner Fähigkeit zweifel es selbst hinzubekommen, aber es ist nun mal so, dass man mehr Zeit benötigt, wenn man alles selbst macht (schließlich muss man sich jeden Schritt ganz genau überlegen) und wenn man eine Lösung hat, dann geht es nur noch darum, diese Lösung zu kontrollieren und das dauert eben nicht so lange. Zeit die ich irgendwo sparen kann, kann ich nutzen um weiter zu lernen. Und da es wohl nie wieder einen Menschen auf der Welt geben wird, der das gesamte Wissen der derzeitigen Mathematik im Kopf hat bzw. beherrscht, muß ich mich früh genug für ein spezielles Gebiet der Mathematik entscheiden und in diesem Gebiet mehr arbeiten und in den anderen eben Abstriche machen und nicht mehr alles selbst beweisen wollen, sondern mich auch mal damit zufrieden geben, Beweise "nur" zu kontrollieren. Anders wäre es mir natürlich auch lieber, aber das ist meiner Meinung nach zeitlich gar nicht machbar.
gruß clara
P.S. Wäre es eine Übungsaufgabe gewesen, dann würde ich es natürlich selbst machen.
Zeit hier zu verbringen ist natürlich auch nicht zeitsparend (und manchmal ärgere ich mich auch darüber), aber auf der anderen Seite finde ich es auch entspannend. |
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