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...morphismus

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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 17:59:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand erklären, was Endo-Homo-Iso-Auto-morphismen bedeutet und wir man dies leicht nachprüfen kann, ganz elementare Erklärung ohne große Beweise reichen mir, will nur etwas Durchblick!

Danke maxi
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 364
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 18:18:   Beitrag drucken

Hi maxi

Ich mach das mal am Beispiel zweier Gruppen V und W mit der binären Verknüpfung *.

Abbildung
f: V->W

Jetzt muss gelten mit x,y aus V:
f(x*y)=f(x)*f(y)

Jetzt ist f ein Homomorphismus.
Ist die Abbildung zusätzlich noch bijektiv, so spricht man von einem Isomorphismus.

Ist V=W, so sagt man statt Homomorphismus auch Endomorphismus und statt Isomorphismus Automorphismus.

MfG
C. Schmidt
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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 18:28:   Beitrag drucken

@ christian,

das war ja kurz und schmerzlos,
danke, genau so einen Kurzüberblick habe ich gesucht!
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 16:16:   Beitrag drucken

Hi,
eine kleine Ergänzung. Bei Christians Bsp. spricht man genauer von einem Gruppen-Homomorphismus. Im übrigen müssen V und W auch nicht dieselbe Verknüpfung haben, so ist zum Beispiel die Exponentialfunktion ein Homomorphismus von (|R,+) nach (|R,*), weil gilt:
exp(x+y) = exp(x)*exp(y)
Es gibt noch "andere", z.B. Ring-Homomorphismen und auch Vektorraum-Homomorphismen (=lineare Abbildungen). Quadratische Matrizen lassen sich ja auch als Endomorphismen auffassen. Da kommt dann noch jeweils eine weitere Eigenschaft dazu.
gruß clara
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 366
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 16:51:   Beitrag drucken

Vielleicht noch eine kleine Ergänzung zu den Begrifflichkeiten;)

Ist ein Homomorphismus injektiv, so heißt er Monomorphismus, ist er surjektiv Epimorphismus.


MfG
C. Schmidt

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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 17:49:   Beitrag drucken

:-)
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 367
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 18:13:   Beitrag drucken

Hi clara

Hab jetzt auch mal eine Frage...

Gibts auch einzelne Begriffe für injektive und surjektive Endomorphismen??
Ich finde das irgendwie nirgends.
(Ist ja auch eigentlich nicht besonders brauchbar :-))

MfG
C. Schmidt
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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 19:20:   Beitrag drucken

@ clara, oder wer dies sonst weiß,

ist es richtig wenn ich sage eine lin. Abbildung ist ein Vektorraumhomomorphismus und wenn eine lin. Abb. durch eine quadr. Matrix beschrieben wird handelt es sich um einen Endomorphismus? Was ist denn die weiter Eigenschaft die da dazukommen muß?
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 369
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. August, 2002 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi maxi

Also ein Vektorraumhomomorphismus würde ich sagen ist eine lineare Abbildung auf jeden Fall.
Aber ob das mit der quadratischen Matrix stimmt bezweifel ich, aber mal abwarten was clara dazu sagt ;)

MfG
C. Schmidt
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 08:30:   Beitrag drucken

Hi,
@Christian,
zu den anderen Begriffen fällt mir spontan nichts ein. Bei uns an der Uni habe ich das nicht gehört, aber ich gucke nachher mal in anderen Skripten von anderen Unis nach.

@maxi: Das ist schon richtig was du da geschrieben hast. Eine quadratische Matrix ist natürlich auch ein Vektorraumhomomorphismus. Aber eben in denselben Vektorraum und damit ein Endomorphismus. Genauer: Angenommen ich habe eine 3x3-Matrix A. Dann kann ich einen Vektor v aus dem R^3 nehmen (und das ist ja ein Vektorraum) und Av berechnen. Dies ist wieder ein Vektor aus dem R^3. Also: Wenn man eine Matrix als Abbildung interpretiert erhält man in diesem Fall einen Endomorphismus.
Eigenschaften einer linearen Abbildung (ist eigentlich die übliche Bezeichnung für Vektorraumhomomorphismen (an unserer Uni)):
A Matrix, v,w Vektoren, a Skalar aus dem Körper:
1) A(v+w) = Av + Aw
2) A(av) = a*Av.

gruß clara

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