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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 337
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 14:32: | 
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Hi'
Wie berechne ich bei der Folge an=(1/n)^(1/n) den Grenzwert? Der Grenzwert ist 1, aber wie komme ich da drauf??
MfG
C. Schmidt |
Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 14:51: |
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Hi Christian
Es hilft vielleicht wenn man schreibt:
(1/n)1/n = 1/(nwurzel(n))
Man müsste also nachweisen das limn->oo(nwurzel(n)) = 1
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 17:11: |
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Hi Christian, Robert,
ausgehend von Roberts Umformung habe ich folgendes im Heuser gefunden :
Will man zeigen, das limn->oo(nÖn) =1, so gibt man ein beliebiges e vor, setzt an = nÖn - 1 und muß dann zeigen, daß ein n0 existiert, mit dem |an|=an<e ist für alle n>n0. Er macht dies über den binomischen Satz und kommt am Ende auf an<=Ö2/Ön < Ö2(e/Ö2)=e für n>n0.
Vielleicht hilft dir der Hinweis ja schon.Würd´ es ja erklären, wenn ich selbst schon verstanden hätte, was der hier zaubert. Vielleicht hast Du ja Zugriff auf den Heuser, Analysis I, das ganze steht auf Seite 148. Falls Dir sonst keiner helfen kann, tippe ich den Rest auch noch ab, aber habe jetzt erst mal einen Knoten in den Fingern.
Gruß
Thomas |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 338
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 17:54: |
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Hi Ropert, Hi Thomas
Also erstmal zu Ropert.
Ich hatte die Umformung von deinem Term in den, den ich angegeben hab gemacht ;)
Dachte das wäre so vielleicht leichter...
Jetzt zu Thomas.
Hört sich schonmal interessant an, wenns nicht allzuviel Arbeit ist, kannst du den Rest ja noch abtippen. Dann hätte ich wenigstens schonmal einen Beweis, dass der Grenzwert 1 ist.
Würde mich aber auch noch dafür interessieren, wie man erstmal auf die 1 kommt ;)
MfG
C. Schmidt |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 18:09: |
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Hi Christian,
auf 1 kommt man wirklich nur durch probieren. Also heut zu Tage mit dem Taschenrechner große Zahlen eingeben.
Manchmal findet man den Grenzwert aber eben auch durch den Einschnürungssatz (manchmal auch Sandwitch Lemma), aber dabei muss man den Grenzwert anderer Folgen kennen.
Die Kenntnis über den Grenzwert ist ja auch gerade das Problem, bei der "normalen" Definition der Konvergenz. Beim Cauchy-Kriterium kommt man ja ohne Grenzwert aus (braucht dann aber auch die Vollständigkeit) und beim Monotoniekriterium.
gruß clara |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 341
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 18:20: |
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Hi clara
Vielen Dank für die Antwort. Dann würde mich natürlich der restliche Beweis von Thomas interessieren ;)
MfG
C. Schmidt |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 18:43: |
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Hi Christian,
da (1/n)^(1/n) > 0 für alle n>0 kann man auch den Grenzwert des Logarithmus betrachten
lim ln((1/n)^(1/n)) = lim -ln(n)/n = 0 (de l'Hospital).
Daher lim (1/n)^(1/n) = e^0 = 1
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 342
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 19:09: |
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Hi egal
Der Trick gefällt mir ;)
Lohnt sich sicher zu merken.
Vielen Dank
C. Schmidt |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 19:16: |
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Hi Christian,
hab´s befürchtet, also kommt hier der Rest : (a#b soll hier bedeuten a über b(Binomialkoeffizient)). Heuser verweist auf ein vorheriges Beispiel, also werde ich damit beginnen :
1/pÖn konvergiert gegen 0 für jedes feste p element IN.
Beweis : Sei e>0 beliebig vorgegeben. Da 1/n --> 0 strebt, gibt es zu der positiven Zahl ep ein n0, so daß für n > n0 stets 1/n<ep bleibt. Für alle diese n ist dann |1/pÖn - 0| = 1/pÖn < e.
Jetzt zu Deiner Folge
wie oben bereits angefangen (Übrigens sagt er, daß man auf die "1" mittels Taschenrechner kommt), dann
Aus dem binomischen Satz folgt :
n=(1+an)n=1+(n#1)an+(n#2)an2+...+(n#n)ann>=1+(n#2)an2
für n>=2 erhalten wir daraus
an2<=(n-1)/(n#2)=2/n und somit an<=Ö2/Ön
Wegen Beispiel 1 (oben) gibt es zu der positiven Zahl e/Ö2 ein n0>=2, so daß 1/Ön<e/Ö2 für n>n0 ist. Für diese Zahl gilt dann (steht im 1. Beitrag als letztes)
Danach gibt er noch folgende Erklärung
Die hier verwendete Beweismethode wird uns immer wieder begegnen, und wir wollen sie deshalb ausdrücklich ins Bewußtsein heben. Um zu zeigen, daß die (nichtnegativen) Folgenglieder an "klein werden", haben wir sie zunächst vergrößert" (nach oben abgeschätzt, nämlich durch an<=Ö2/Ön) und haben dann dargelegt, daß sogar die vergrößerten Glieder klein werden. Es scheint zunächst zweckwidrig zu sein, eine Vergrößerung vorzunehmen, um ein Klein-Werden zu beweisen; dieses Verfahren ist jedoch immer dann zweckdienlich, wenn man den vergrößerten Gliedern leicht ansehen kann, daß sie klein werden.
Jetzt viel Spass beim verstehen...
Thomas
PS: Das nächste was ich mir besorge ist ein Scanner
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Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 19:17: |
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Arrrgh ! Das geht ja in einem Satz ! |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. August, 2002 - 19:43: |
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Hi Thomas, nicht umsonst heißt der Heuser ja auch "Märchenbuch der Analysis" ;-)
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 345
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. August, 2002 - 16:58: |
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Hi Thomas
Trotzdem vielen Dank. Mehrere Lösungswege schaden ja auch nicht
MfG
C. Schmidt |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. August, 2002 - 17:23: |
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Hi Christian,
Hauptsache Du hast es verstanden, ich hab`s immer noch nicht geblickt. Bin halt mit meiner Studiumsvorbereitung noch nicht so weit und befasse mich noch mit den "gesammelten Trivialitäten". Daher kann der Heuser mich mit seinen Märchen noch beeindrucken ;-).
Gruß
Thomas |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. August, 2002 - 18:14: |
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Hallo alle Zusammen,
das ganze abgeschätze habe ich nochmal komprimiert auf folgender HP gefunden:
http://www.math.uni-sb.de/~ag-wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node38.html
Da hätte sich unser guter Tommy eine Menge arbeit ersparen können:-)
Gruß N. |
