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Beitrag |
    
rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 14:48: | 
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Hallo!
Beweise: e^x < 1 + x * e^t für alle x aus ]0;t]
Kann mir irgendjemand einen Beweis angeben, in dem man nur von der Definition
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...
ausgehen kann und keine Ableitungen verwenden darf?
Wenn niemand diesen Beweis erbringen kann, kann irgend jemand wenigstens bestätigen, dass dieses Folgende funktioniert?
es sei f(x) = x * e^t + 1 - e^x
es gilt 0 < x <= t , also unterscheide die zwei Fälle
1) 0<x=t und 2) 0<x<t
1) 0<x=t:
f(t) = 1+ te^t - e^t = 1+(t-1)e^t
es gilt t>0 , daraus folgt
t-1 > -1
=> (t-1)e^t > -1
=> 1+(t-1)e^t > 0
=> f(t) > 0
=> f(x) > 0 für x=t
2) 0<x<t:
für alle diese x gilt e^x < e^t
und wegen e^x < e^t gilt 0 < e^t - e^x, also gilt:
f'(x) = e^t - e^x
f'(x) > 0
Damit ist f auf [0;t[ streng monoton wachsend, deswegen und mit f(0)=0 gilt dann:
f(x) > 0 für alle 0 < x < t.
also gilt f(x) > 0 in beiden Bereichen 1) und 2) und das ist equivalent zu
x * e^t + 1 - e^x > 0
x * e^t + 1 > e^x
was zu beweisen war.
Ist noch ein Fehler darin, oder kann ich das auch so machen?
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Xell (vredolf)
Junior Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 17:24: |
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Hi rústico!
1) und 2) sind richtig, alledings sehe ich keinen großen
Unterschied zu meinem Beweis.
Den Beweis nur m.H. der Reihenentwicklung von e^x hab ich
bisher nicht hinbekommen.
Gruß,
X.
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rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 18:06: |
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Hi X.
Ich danke für die Zustimmung zu meiner Methode.
Ich meine, dass der Unterschied ist, dass ich die Ableitung f'(t) nicht verwende.
Ich habe meine Fragen zu der anderen Methode nochmal dort aufgeschrieben.
Gruß,
rústico
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egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 18:53: |
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Hi rústico,
Zeige: 1 + x*et - ex > 0 für 0 < x <= t.
1 + x*et - ex =
1 + x*(1 + S¥ n=1 tn/n!) - (1 + x + S¥ k=2 xk/k!)) =
x*S¥ n=1 tn/n! - S¥ k=2 xk/k! =
x*S¥ n=1 tn/n! - x*S¥ n=1 xn/(n+1)! =
x*S¥ n=1 (tn/n! - xn/(n+1)!) >= (wegen t >= x)
x*S¥ n=1 tn*(1 - 1/(n+1))/n! > 0 (wegen x > 0)
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rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. August, 2002 - 17:03: |
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Hi egal, muchas gracias für diese fulminante demostracion
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