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Beitrag |
    
rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 21:41: | 
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Guten Abend,
wie kann ich einsehen, dass e^x für alle x aus ]0;t] immer kleiner als 1 + x * e^t ist?
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Xell (vredolf)
Neues Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. August, 2002 - 01:28: |
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Hi rústico!
Zu beweisen: e^x < 1 + e^t für t aus ]0;t]
Sei f(x) = x * e^t + 1 - e^x eine auf ganz R definierte Funktion.
Zu zeigen: f(x) > 0 auf besagtem Intervall ]0;t].
Beweis:
f(0) = 0
Außerdem ist f(x) diff.bar und damit ist
f'(x) = e^t - e^x
f'(x) > 0 <=> e^t > e^x
Da die e-Funktion auf R+ streng monoton wachsend ist,
gilt diese Ungleichung für alle x < t.
Damit ist f'(x) > 0 für x < t. Damit ist f auf [0;t[
streng monoton wachsend und da f(0) > 0, muss auch f(z) > 0
sein für alle 0 < z < t.
Außerdem ist f(t) = t * e^t + 1 - e^t = (t-1)*e^t + 1
Dies ist größer Null, da t nach Voraussetzung(?) > 0,
denn es ist f(0) = 0
und f'(t) = e^t + (t-1)*e^t = t * e^t
Für t > 0 ist auch e^t > 0 und damit das Produkt t*e^t auch.
Daher ist auch f(t) > 0 und somit gilt für alle x aus ]0;t],
dass e^x < 1 + x * e^t ist.
Gruß,
X. |
rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. August, 2002 - 19:59: |
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Hallo X.
erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort und für die Idee, das f(x) und die Monotonie zu verwenden.
Bis zu der Zeile "denn es ist f(0) = 0" habe ich alles verstanden.
Dann habe ich bemerkt, dass f(t) = (t-1)*e^t + 1 nach t abgeleitet wurde.
Aber ich habe den Sinn nicht verstanden, warum f'(t) so gebildet wurde.
Wenn ich f'(t) errechnen wollte, könnte ich doch auch
x=t in f'(x) = e^t - e^x einsetzen?
dann ergibt sich f'(t) = e^t - e^t = 0 ?
ich habe versucht, den Beweis mit anderen Worten zu formulieren:
sei f(x) = x * e^t + 1 - e^x
es gilt 0 < x <= t , also unterscheide die zwei Fälle
1) 0<x=t und 2) 0<x<t
betrachte zunächst
1) 0<x=t:
f(t) = 1+ te^t - e^t = 1+(t-1)e^t
es gilt t>0 , daraus folgt
t-1 > -1
=> (t-1)e^t > -1
=> 1+(t-1)e^t > 0
=> f(t) > 0
=> f(x) > 0 für x=t
2) 0<x<t:
für alle diese x gilt e^x < e^t
und wegen e^x < e^t gilt 0 < e^t - e^x, also:
f'(x) = e^t - e^x
f'(x) > 0
Damit ist f auf [0;t[ streng monoton wachsend, deswegen und mit f(0)=0 gilt dann:
f(x) > 0 für alle 0 < x < t.
also gilt f(x) > 0 in beiden Bereichen 1) und 2) und das ist equivalent zu
x * e^t + 1 - e^x > 0
x * e^t + 1 > e^x
was zu beweisen war.
Ist noch ein Fehler darin, oder kann ich das auch so machen?
Jetzt habe ich noch eine andere Frage:
kann man den Beweis auch durchführen, wenn man nur von der Definition als Reihe
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...
ausgehen kann und keine Ableitungen verwenden darf?
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rústico
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 18:05: |
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Ich habe den Sinn nicht verstanden, warum f'(t) so gebildet wurde:
f'(t) = e^t + (t-1)*e^t = t * e^t
Ich meine, dass das nur so gemacht werden kann, wenn f eine Funktion von t ist.
Wenn f eine Funktion von x ist, sollte man nicht
f'(x) = e^t - e^x bilden und dann
x=t in f'(x) = e^t - e^x einsetzen - dann ergibt sich
f'(t) = e^t - e^t = 0 ?
Gruß,
rústico
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