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Beitrag |
    
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 12:01: | 
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Besitzen alle orthogonalen Matrizen Eigenwerte?
Falls sie reelle EW besitzen sind diese entweder 1 oder -1, kann mir das jemand erklären?
Danke maxi |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 13:04: |
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Hi Maxi,
nicht alle orthogonalen Matrizen besitzen Eigenwerte (die unitären ja), aber wenn sie einen Eigenwert besitzen, dann ist der Betrag des Eigenwertes 1, also wie Du geschrieben hast über R nur 1 und -1, denn:
Bezeichne < , > das Skalarprodukt und sei a ein Eigenwert der Matrix A zum Eigenvektor v, dann gilt:
<v,v> = <Av,Av> (da A orthogonal bzw. unitär)
= <av,av> (da a Eigenwert)
=a*a(quer)*<v,v> (Rechenregeln Skalarprodukt,
wobei a(quer) die Konjugiert-
komplexe Zahl zu a ist)
Also haben wir:
<v,v> = |a|*<v,v>.
Da v nicht der Nullvektor ist folgt:
|a|=1.
Die unitären Matrizen ("orthogonale über C") sind sogar diagonalisierbar.
gruß clara |
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