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Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 12:01: | 
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Hallo,
folgende Frage :
Sei V der IR-Vektorraum aller reellwertiger Funktionen f:IR->IR. Zeigen Sie, daß die folgenden Vektoren f,g,h (element) V jeweils linear unabhängig über IR sind :
(a) f(x) = ex, g(x) = sin (x), h(x) = x2;
(b) f(x) = ex, g(x) = ex^2, h(x) = x;
(c) f(x) = ex, g(x) = sin (x), h(x) = cos (x)
Ich habe sogar die Lösung, verstehe sie aber nicht:
Die Annahme, daß f(x)a+g(x)b+h(x)c=0 für geeignete a,b,c (element) IR und alle x (element) IR gilt, führt durch Auswertung an drei geeigneten Stellen x in jeder der drei Teilaufgaben auf ein homogenes Gleichungssystem, daß nur die Lösung (a,b,c) = (0,0,0) hat. Bei (a) wähle man die Stellen x=0 und ±(p/2), bei (b) die Stellen x=0,1 und 2, bei (c) die Stellen x=0,(p/2)und p.
Die einzelnen Begriffe sind mir schon klar, aber kann man einfach ein x aussuchen, für dieses x das Gleichungssystem aufstellen, lösen und dann behaupten, falls für dieses x (0,0,0) für (a,b,c) rauskommt, das die Vektoren dann linear unabhängig sind ?
Ich habe da echt ein Brett vorm Kopf.
Es würde reichen, wenn mir das einer anhand einer der Aufgaben zeigen könnte, die anderen bekomme ich dann schon hin, wenn ich es einmal verstanden habe.
Danke schonmal,
Thomas |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 17:26: |
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Ja, die Vorgehensweise ist richtig. Nehmen wir mal die erste Aufgabe.
lex+msin(x)+nx²=0
Diese Gleichung besagt, daß sich die Nullfunktion linear durch die angegebenen Funktionen kombinieren läßt,d.h. für beliebige Werte von x kommt auf der linken Seite 0 heraus. Also ist es notwendig, daß es für drei spezielle x gelten muß. Wenn Du diese einsetzt erhältst Du ein GLS, daß eine notwendige Bedingung liefert, nämlich l=m=n=0. Hinreichend ist diese Bedingung allemal, also ist es auch die einzige Lösung der Ausgangsgleichung.
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Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:23: |
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Hi Thomas
Falls es dich interessiert, kannst du auch hier mal schauen:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/77832.html?1028481670
So kann man Funktionen auch auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
MfG
C. Schmidt
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Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:30: |
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Hallo Ingo,
Danke erstmal, verstehe aber folgendes nicht richtig :
Wenn diese Funktionen linear unabhängig sind, dann lässt sich z.B. ex nicht durch sin(x) und x2 linear kombinieren. Woher weiß ich denn, daß es kein x gibt, für das das doch gilt, z.B. ex0=lsin(x0)+mx02, x0 aus IR.
Habe ich dann nur für dieses x0 gezeigt, daß die Vektoren in diesem Fall linear abhängig sind ? Vielleicht habe ich ja nur Probleme, mir diesen Vektorraum vorzustellen.
Ich versuche mal, das Beispiel für mich etwas zu vereinfachen :
f(x)=x, g(x)=x2, h(x)=x3
Ich will versuchen zu zeigen, daß die Vektoren linear unabhängig sind (wenn sie es denn sind).
Ich behaupte lx+mx2+nx3=0(bzw. Nullfunktion)
Nach dem Schema behaupte ich weiter, daß für beliebige Werte von x auf der linken Seite 0 herauskommt
Wenn ich mir einfach ein beliebiges x für alle 3 Funktionen aussuchen kann, wähle ich z.B. für alle x = 0. Dann ist für alle l,m,n die linke Seite = 0, d.h. die Vektoren sind linear abhängig, da es mehr als die triviale Lösung gibt. Angenommen, ich hätte andere Werte für x genommen, und es würde nur die triviale Lösung geben. Wie kann ich das ausschließen ? Vielleicht war das Beispiel doch nicht so gut, ich glaube es gibt kein solches x. Aber woher weiß ich es ?
Und wie sieht das lineare Gleichungssystem aus ?
Sorry, ich sehe da echt nicht durch.
Gruß
Thomas
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Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:33: |
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@Christian : Danke, aber was ist die Wronski-Determinante ?
Thomas |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:47: |
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Ich geb dir einfach mal ein Beispiel:
Du willst die drei Funktionen
f(x)=x
g(x)=x^2
h(x)=x^3 auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
Jetzt schreibst du die wie in dem anderen Beitrag in die Determinante mit Ableitungen usw.:
|x x^2 x^3|
|1 2x 3x^2|
|0 2 6x|
Wenn du die Determinante jetzt berechnest, dann erhälst du auf jeden Fall wieder ein Polynom(bin gerade zu Faul das zu machen).
Wenn du dann einen Wert für x findest, für den das Polynom nicht 0 wird, so sind die Funktionen linear unabhängig.
MfG
C. Schmidt
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Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 19:03: |
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@Christian : Danke, das ist leicht zu verstehen, aber bei einigen Funktionen kann ja eine Mörderdeterminante rauskommen...
PS: Bist ja schon wieder fortgeschritten...
@Ingo :
Was aber nichts daran ändert, daß ich den anderen Weg auch gerne verstehen würde. Wenn Du irgendwann noch mal ein paar Minuten Zeit hast, ich würde dann ruhiger schlafen können... |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 19:49: |
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Kein Problem. Alles was Du einsehen mußt ist die Tatsache, daß dieses Verfahren nur geeignet ist lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Über lineare Abhängigkeit wird man so nichts aussagen können.
Einfaches Beispiel:
f(x)=x²-1 g(x)=x³-x h(x)=x-1
lf+mg+nh=0
Setzen wir x1=-1, x2=0 und x3=1 ein, so kommen wir auf das GLS
(A) l*0+m*0-2*n=0
(B) -l+m*0-n=0
(C) l*0+m*0+n*0=0
oder kürzer
(A) -2n=0
(B) -l-n=0
(C) 0=0
Dieses System besitzt die Lösung l=n=0 und m beliebig. Haben wir damit die Abhängigkeit von f,g und h bewiesen? Nein ! Denn wir haben ja nur ein notwendiges Kriterium erarbeitet.
Wenn es also überhaupt eine Lösung unserer Ausgangsgleichung gibt, dann besitzt diese die Eigenschaft, daß l=n=0 sein muß. Es ist aber nicht so, daß jedes Tripel(l,m,n) mit l=n=0 eine Lösung der Gleichung lf+mg+nh=0 ist.
Nochmal zusammengefaßt: Wenn unsere notwendige Bedingung trivial ist, haben wir bereits die lineare Unabhängigkeit der Funktionen bewiesen. Bleibt mehr als die triviale Lösung müssen wir entweder zu anderen Verfahren greifen oder weitere Stellen in die Betrachtung einbeziehen.
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Ulli
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 19:49: |
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Hi Thomas,
Funktionen sind linear abhängig, falls für ALLE x, die lineare Abhängigkeit gilt.
Um die UNABHÄNGIGKEIT zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass für einzelne x-Werte keine Abhängigkeit besteht.
Umgekehrt ist es schwieriger: wenn man zeigen will, dass Funktionen ABHÄNGIG sind so genügt es nicht, dies für einzelne x-Werte zu zeigen, sondern man muss es für ALLE x-Wete beweisen. |
Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 20:48: |
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Danke Leute, ich glaube jetzt hat´s geklingelt...
Die Aufgabe ist übrigens aus dem Kowalsky/Micheler. Allerdings hat er in dem Lehrtext vor der Aufgabe nichts explizites über Funktionenräume gesagt. Gibt es woanders einen Satz (am besten mit Beweis), der dies nochmal darlegt (das was Ulli geschrieben hat) ?
bis denne,
Thomas
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