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Roberto Neumann (ceagle)
Neues Mitglied
Benutzername: ceagle
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. August, 2002 - 06:56: | 
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Huhu!
Vorab: alles, was hier steht, ist rein hobbymaessig entstanden - nichts davon hat mit einem Studium oder so zu tun, ich hab nur zuviel Zeit und opfere die recht oft fuer Mathe! 
Ich weiss leider (noch) ebensowenig, ob es dazu bereits Regeln gibt oder ob davon bereits etwas bewiesen oder widerlegt wurde - zumindest habe ich bisher nichts wissenswertes gefunden und musste mich so eben selbst damit befassen.
Erstmal ist mir mehr oder weniger zufaellig aufgefallen, dass anscheinend immer jeweils die Zahl in der Mitte eines Primzahlzwillings durch 3 teilbar ist. Normalerweise wuerde man ja annehmen, dass grundlegend (also ohne Sonderregelungen) alle Zahlen groesser 10, die auf 1&3 oder 7&9 enden, sozusagen potenzielle Primzahlzwillige sein koennten. Gut, bei einigen Zahlen kann man auf Anhieb erkennen, dass sie nicht prim sind, wie etwa 27 - aber wie waere das bei sehr viel groesseren Zahlen? Wenn man jetzt miteinbeziehen koennte, dass die Zahl in der Mitte eines Primzahlzwillings immer durch 3 teilbar sein muss, damit jeweils x-1 und x+1 prim sind, waere die Anzahl der moeglichen Primzahlzwillige doch schonmal etwas eingegrenzter. Es gibt zwar auch Zahlen, wie etwa 168, die durch drei teilbar sind und KEINE Primzahlen um sich haben, dennoch ist anscheinend jede Zahl zwischen 2 Primzahlen durch 3 teilbar...
Die "Umgebung" eines Primzahlzwillings (keine Ahnung, wie man das sonst nennen soll), wuerde also so aussehen:
x-3 <-- durch 3 teilbar
x-2
x-1 <-- prim (endet auf 1 oder 7)
x <-- durch 3 teilbar
x+1 <-- prim (endet auf 3 oder 9)
x+2
x+3 <-- durch 3 teilbar
Ich hab mich auch mal ein bisschen mit der Goldbachschen Vermutung befasst, hatte jedoch anfangs aus einer nicht ganz richtigen Quelle eine falsche Definition der Vermutung von jemandem erhalten, die ALLE Zahlen einschliesst, nicht nur die geraden. Anyway, ohne diesen Fehler waere ich nicht auf etwas bestimmtes aufmerksam geworden:
27, 35, 51, 57, 65, 77, 87, 93, 95, ... das sind, wenn man ALLE Zahlen ausser Primzahlen betrachtet, die ersten 9, welche nicht die Summe aus zwei Primzahlen sind. Ob es da evtl. eine Moeglichkeit gibt, diese Zahlen zu berechnen oder da eine Regelmaessigkeit zu finden? Ich nehme mal an, wuerde es bereits soetwas geben, wuerde die Goldbachsche oder eine andersnamige Vermutung schon alle Zahlen beinhalten anstatt nur die geraden - von daher ist das wohl nicht der Fall ... Jemand Lust, sich auch etwas damit zu befassen?
Die einzige Regelmaessigkeit bis zu einer gewissen Zahl, die mir aufgefallen ist, ist: eine Zahl, die auf 7 endet, ist entweder prim oder es gibt keine Moeglichkeit, sie als die Summe von 2 Primzahlen zu schreiben (ich habe bei meinem Rumprobieren Primzahlen beim Suchen der Zusammensetzungen ignoriert - mag ein Fehler gewesen sein)
4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, ... und DAS sind die ersten 9 Zahlen, die jeweils eine bestimmte Anzahl an Primzahl-Zusammensetzungen besitzen... gibt es da vielleicht eine bekannte (und evtl. bewiesene) Regelmaessigkeit, so dass man zum Beispiel sagen kann: die erste Zahl, bei der es 12 Moeglichkeiten gibt, sie als Summe von zwei Primzahlen zu schreiben, ist n(12)=x
Ich befasse mich bereits seit einiger Zeit ab und an mit etwas, worueber ich sonst bisher noch gar nichts auf irgendwelchen Mathe-Seiten oder in Buechern gelesen habe - beginnend mit x^x=y ...
Um Beweise habich mich dabei allerdings eher weniger gekuemmert, da ich es einerseits interessanter finde, mehr oder weniger zufaellig auf was wissenswertes zu stossen, und andererseits, weil ich eh nicht genug Ahnung von der ganzen Materie hab, die andere Leute (ihr) durch ein Studium erlangen bzw. durch eins erlangt haben!
x^x = y
Fuer x<e kann man via n-te Wurzel aus y jeweils annaehernd das x ermitteln - das erste n kann irgendein Wert sein, je oefter man das jeweilige Ergebnis fuer das naechste n einsetzt, desdo naeher gelangt man an x Fuer x>e kann man mit derselben Methode zwei unterschiedliche Zahlen ermitteln, a und b, wobei a^b = b^a = y gilt... bzw., das ganze kann man halt noch etwas ausweiten, wie z.b. y^(1/a) = b oder y^(1/b) = a, aber ich halte das irgendwie fuer etwas trivial um alles hier reinzuschreiben, was man durch einfache Umformungen erhaelt. Das einzige, was ich nicht fuer ganz so trivial halte, ist die Naeherung...
a*b = y - 2*Sqrt(y)
...da ich darauf nur eher durch Zufall gekommen bin! Ich weiss zwar fuer das alles (noch) keinen wirklichen Sinn, aber Trivialitaet ist hierbei wohl relativ *g*
Bei y=16 ist sie absolut korrekt, es gibt jedoch einen kleinen Fehler, je groesser y wird.
y=16 ; a=2 ; b=4
2*4 = 16 - 2*Sqrt(16)
8 = 8
x=3 -> y=27 ; a=1,295... ; b=12,733...
1,295*12,733 = 27 - 2*Sqrt(27)
16,495 = 27 - 10,392
16,495 = 16,608 (fehler knapp ueber 1/11)
x=4 -> y=256 ; a=1,025... ; b=223,468...
a*b = y - 2*Sqrt(y)
229,083 = 224 (fehler knapp ueber 5)
Und anbei ist mir noch etwas aufgefallen... a und b sind ja jeweils die zwei einzigen Variablen, die jede Zahl groesser e zu haben scheint, welche man gegenseitig potenzieren kann, wobei immer y rauskommt... nebenbei hat auch jede Zahl ein x fuer x^x=y, aber das ist erstmal unwichtig ;)
1. a^b = b^a
2. a^(1/a) = b^(1/b)
Stimmt das erste, trifft auch das zweite zu... mir will einfach nichts einfallen - kann man von 1. zu 2. auch ueber einfache (oder auch nicht so einfache) Umformungen gelangen?
Danke im Voraus an die Leute, die antworten! Und noch ein zweites Danke an die Leute, die zum Beispiel Verbesserungsvorschlaege fuer die IMHO nicht gar so triviale Naeherung haben ;)
PS: Etwas Inspiration ist wohl selbst insachen Mathe noetig, obwohl es sonst nur was mit Kunst zu tun hat ... ist Mathe eine Kunstform?
(Beitrag nachträglich am 03., August. 2002 von ceagle editiert) |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 549
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. August, 2002 - 10:30: |
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Hallo Roberto
Dass die Zahl, die "zwischen" einem Primzahlzwilling liegt, immer durch 3 teilbar ist, ist fast richtig. Die einzige Ausnahme ist 3,5. Denn sind p,p+2 Primzahlen mit p¹3, so ist eine der Zahlen p-1,p+1,p+3 durch 3 teilbar. p-1 kann aber nicht durch 3 teilbar sein, denn dann wäre p+2 auch durch 3 teilbar, also p+2=3, da p+2 prim. Daraus folgt p=1 nicht prim, Widerspruch. Analog zeigt man, dass p+3 nicht durch 3 teilbar sein kann, also muss p+1 durch 3 teilbar sein.
Die ungeraden Zahlen, die sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen lassen, sind einfach zu beschreiben: das sind alle n, für die n-2 keine Primzahl ist. Bei den geraden ist es ja gerade die Goldbachsche Vermutung...
Von
1. ab=ba auf
2. a1/a=b1/b
kommt man durch potenzieren der Gleichung mit 1/(ab), und Anwendung der Potenzgesetze.
viele Grüße
SpockGeiger
PS: Sehr viele Mathematiker bezeichnen Mathematik als Kunstform, viele Beweise bestechen durch ihre "Schönheit", die schönsten allerdings können nur von einer handvoll bewundert werden, was aber auch analog zur Kunst ist. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1270
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. August, 2002 - 10:46: |
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Hallo Roberto,
das ist eine ganze Menge. Besser wäre es gewesen (kleiner Tipp für die Zukunft), du hättest mehrere Beiträge eröffnet. Hier ein paar Hinweise:
1) Wenn x - 1 und x + 1 Primzahlen sind, dann ist x durch 3 teilbar. Das ist relativ klar: Da x - 1, x, x + 1 drei aufeinanderfolgende Zahlen sind, muss mindestens eine von ihnen durch 3 teilbar sein. Da aber x - 1 und x + 1 prim sind, muss somit x durch 3 teilbar sein.
2) Hinweis: Es gibt Primzahlzwillinge, die auf 1 und 9 enden (z. B. 29, 31).
3) 1, 3, 11, 17, ... sind die ersten ungeraden Zahlen, die sich nicht als Summe von zwei Primzahlen darstellen lassen. Ungerade Zahlen x zu betrachten ist in diesem Zusammenhang völlig uninteressant, da es lediglich darauf hinausläuft zu untersuchen, ob x - 2 prim.
4) Eine Regelmäßigkeit/Formel für die Anzahl der "Goldbach-Zerlegungen" einer geraden Zahl ist nicht bekannt.
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. August, 2002 - 15:06: |
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Hallo Zaph,
eine Frage zu deinem letzten Hinweis 4)
Kommt dir die Vermutung in meinem Monolog auf Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/110522.html#POST108138
bzgl. einer Regelmäßigkeit für die Anzahl der "Goldbach-Zerlegungen" bekannt vor?
Gruß
Juppy |
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