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Hans Mayer
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 17:12: |
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Ich komme einfach mit dieser Aufgabe nicht weiter: Man finde alle positiven reellen Lösungen der Gleichung xy = yx. Insbesondere gebe man sämtliche Lösungen in natürlichen Zahlen an. Es gibt zwar offensichtlich die Lösung x=y für alle reellen x,y, aber darauf beschränkt sich die Lösung der Aufgabe auf keinen Fall, denn zum Beispiel existieren auch die nichttrivialen Lösungen x=2, y=4 bzw. x=4, y=2. Ich weiß, daß dies sämtliche Lösungen in natürlichen Zahlen sind, aber den allgemeinen reellen Fall bekomme ich einfach nicht auf die Reihe. Kann mir irgendjemand helfen? Hans
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Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 98 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 17:35: |
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Hi, x^y = y^x => y * ln(x) = x * ln(y) => y / x = ln(y) / ln(x) hier habe ich den nat. logarithmus verwendet; gleiches gilt auch für den 10er-Logarithmus; y / x = lg(y) / lg(x) y / lg(y) = x / lg(x) 4 / lg(4) = 2 / lg(2) 4 / (2*lg(2)) = 2 / lg(2) 2 / lg(2) = 2 / lg(2) 27 / lg(27) = x / lg(x) 27 / (3*lg(3)) = x / lg(x) 9 / lg(3) = x / lg(x) lg(3) / 3^2 - lg(x) / x = 0 Liefert NEWTON da was? p.s. ich kenn ehrlich gesagt auch nur die Triviallsg. x = y und Deine 2 nichttrivialen Lsg. Gruß, Walter
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen, das gerne weiterhilft oder auch verwirrt *ggg*
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egal
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 18:09: |
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Hi Hans, setze y = z*x in x^y = y^x ein. z=1 liefert y=x, für z ungleich 1 gilt: x^(z*x) = (z*x)^x oder (x^z)^x = (z*x)^x , daher x^z = z*x oder x^(z-1) = z , daher x = z^(1/(z-1)) Zur Vereinfachung wähle neuen Parameter t = 1/(z-1) , daher z = 1+1/t und x = (1+1/t)^t , y = z*x = (1+1/t)^(t+1) für t>0 oder t<-1 (damit x>0, y>0) Die Lösung ist symmetrisch, d.h. jede Lösung für t ist die vertauschte Lösung für -1-t. Rationale Lösungen gibt es genau für alle ganzzahligen t. t=1 und t=-2 erhält man die einzigen ganzahligen Lösungen. Beipiel: t = 2 ergibt x = 9/4 , y = 27/8
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Hans Mayer
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 18:15: |
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Mein herzlichster Dank geht an egal! Du weißt ja gar nicht, wie froh ich bin, eine Lösung zu haben. Also nochmal: Danke! Hans |
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