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Gleichungsauflösung für Fortgeschritt...

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Hans Mayer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 17:12:   Beitrag drucken

Ich komme einfach mit dieser Aufgabe nicht weiter:

Man finde alle positiven reellen Lösungen der Gleichung xy = yx. Insbesondere gebe man sämtliche Lösungen in natürlichen Zahlen an.

Es gibt zwar offensichtlich die Lösung x=y für alle reellen x,y, aber darauf beschränkt sich die Lösung der Aufgabe auf keinen Fall, denn zum Beispiel existieren auch die nichttrivialen Lösungen x=2, y=4 bzw. x=4, y=2. Ich weiß, daß dies sämtliche Lösungen in natürlichen Zahlen sind, aber den allgemeinen reellen Fall bekomme ich einfach nicht auf die Reihe.

Kann mir irgendjemand helfen?

Hans
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Walter H. (mainziman)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 98
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 17:35:   Beitrag drucken

Hi,

x^y = y^x =>
y * ln(x) = x * ln(y) =>
y / x = ln(y) / ln(x)

hier habe ich den nat. logarithmus verwendet; gleiches gilt auch für den 10er-Logarithmus;

y / x = lg(y) / lg(x)

y / lg(y) = x / lg(x)
4 / lg(4) = 2 / lg(2)
4 / (2*lg(2)) = 2 / lg(2)
2 / lg(2) = 2 / lg(2)

27 / lg(27) = x / lg(x)
27 / (3*lg(3)) = x / lg(x)
9 / lg(3) = x / lg(x)
lg(3) / 3^2 - lg(x) / x = 0
Liefert NEWTON da was?
p.s. ich kenn ehrlich gesagt auch nur die Triviallsg. x = y und Deine 2 nichttrivialen Lsg.

Gruß,
Walter


Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 18:09:   Beitrag drucken

Hi Hans,

setze y = z*x in x^y = y^x ein. z=1 liefert y=x, für z ungleich 1 gilt:
x^(z*x) = (z*x)^x oder (x^z)^x = (z*x)^x , daher
x^z = z*x oder x^(z-1) = z , daher x = z^(1/(z-1))

Zur Vereinfachung wähle neuen Parameter t = 1/(z-1) , daher z = 1+1/t und
x = (1+1/t)^t , y = z*x = (1+1/t)^(t+1) für t>0 oder t<-1 (damit x>0, y>0)

Die Lösung ist symmetrisch, d.h. jede Lösung für t ist die vertauschte Lösung für -1-t. Rationale Lösungen gibt es genau für alle ganzzahligen t. t=1 und t=-2 erhält man die einzigen ganzahligen Lösungen.

Beipiel: t = 2 ergibt x = 9/4 , y = 27/8

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Hans Mayer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 18:15:   Beitrag drucken

Mein herzlichster Dank geht an egal! Du weißt ja gar nicht, wie froh ich bin, eine Lösung zu haben.

Also nochmal: Danke!

Hans

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