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ariane
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 11:03: | 
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Hallo,
ich verstehe nicht, warum die modifizierte Dirichletfkt. f(x) = 1/q, wenn p/q gekürzter Bruch
und 0 falls x irrational ist, riemannintbar ist. Ich gehe hierbei von der Definition "riemannintbar = Ober und Unterintegral fallen zusammen" aus.
Dass "Unterintegral = 0" leuchtet mir noch ein, aber wie siehts mit der oberen Treppenfkt aus, wie komm ich darauf, und warum fallen sie zusammen.
Vielen lieben Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus.
Grüße Ariane |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 17:29: |
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Hallo :
Das sollte eigentlich in der Vorlesung behandelt
werden. Man argumentiert etwa folgendermassen :
Es sei
Z : 0=x_0 < x_1 < ... < x_n = 1
eine Zerlegung von [0,1] in Intervalle
I_i:=[x_i,x_(i+1)], i=0,...,n-1, mit Feinheitsmass
d:= max(d_i) , d_i:= x_(i+1)-x_i . Ferner sei
M_i:=sup{f(x) | x in I_i}. Wir haben zu zeigen,
dass die Obersumme
O(Z) := sum[i=0..(n-1)]M_i*d_i
kleiner als jedes gegebene positive eps gemacht
werden kann. Dazu waehlen wir eine natŸrliche Zahl N > 2/eps. Die Menge {I_i | 0=<i=< n-1} zerfaellt
in 2 Klassen K_1 , K_2. K_1 besteht genau aus denjenigen I_i, in denen es rationale Zahlen p/q
mit q < N gibt. Es ist evident, dass es von diesen
nur endlich viele gibt, etwa |K_1| = k. Ihre
Gesamtlaenge ist also =< k d. Wegen f(x) < 1 leistet K_1 zu O(Z) also einen Beitrag < k d.
Andererseits gilt fŸr die x=p/q in jedem zu K_2
gehoerigen Intervall : q >= N ==> f(x) =< 1/N ==>
f(x) =< eps/2 . Der Gesamtbeitrag von K_2 zu
O(Z) ist also =< eps/2. VerfŸgen wir nun Ÿber d
so, dass k d < eps/2 <==> d < eps/(2k), so
wird O(Z) < eps.
Gruss
Hans |
ariane
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 09:27: |
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Hallo Hans,
vielen Dank für Deine Antwort.
Leider ist bei mir die Tatsache, dass etwas in der Vorlesung behandelt wurde nicht immer gleichbedeutend damit, dass ich es auch verstanden habe.
Durch Deine Antwort bin ich der Sache jetzt zwar schon näher gekommen, aber ich hab doch noch so ein paar Fragen:
1. zum allgemeinen Verständnis: bei der allgemeinen Dirichletfkt.(0 an irrationalen, 1 an rationalen Argumenten) ist die obere Treppenfkt o(x) = 1 und die untere u(x) = 0. Diese fallen nicht zusammen, deshalb nicht riemannintb. Richtig?
2. Bei der modifizierten D-Fkt, wie kann ich mir das da vorstellen? Auf dem Intervall [0,1] müßte es doch eine, ich sag jetzt mal Stufe, geben, die 2 hoch ist (Ich weiß, daß ist jetzt total unmathematisch ausgedrückt, aber ich muß mir das erst mal vorstellen können.) Wie kann diese jemals mit der unteren Treppenfkt. u(x) = 0 (ist doch so, oder?) zusammenfallen?
3. Ab da hakt es nämlich bei mir auch mit Deiner Erklärung: Was meinst Du mit "Ihre
Gesamtlaenge ist also =< k d. Wegen f(x) < 1 leistet K_1 zu O(Z) also einen Beitrag < k d."?
So, ich hoffe ich treibe Dich, bzw. alle anderen die diesen Beitrag lesen und evtl. gewillt sind ihn zu beantworten, nicht zur Verzweiflung.
Analysis war schon immer ein großes Rätsel für mich und ich versuche gerade ernsthaft es zu verstehen.
Danke noch mal an alle, die mir weiterhelfen werden.
Viele Grüße
Ariane |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 16:21: |
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Hallo Ariane :
Ja, es ist wahr, diese Begriffe sind schwierig !
Man muss wahnsinnig kaempfen, um sie sich anzueignen.
Ad 1. Bezeichnungen wie oben. In jedem I_i ist
M_i = 1, also
O(Z) = sum[i=1..(n-1)]1*d_i
= sum[i=1..(n-1)](x_(i+1) - x_i)
= x_n - x_0
= 1.
Andererseits ist in jedem I_i :
m_i := inf{f(x) | x in I_i} = 0,
daher gilt analog fŸr die Untersummen : U(Z) = 0
Das ist wahr fŸr a l l e Z, folglich
Unterintegral(f) := sup{U(Z) | alle Z} =0
< 1 = inf{O(Z) | alle Z} =: Oberintegral(f)
==> f ist nicht R-integrabel.
Uebrigens verstehe ich nicht, was die Aussagen
"untere Treppenfunktion u(x) = 0" etc. bedeuten.
Ad 2. Man sollte nicht unbedingt versuchen, sich bei diesen pathologischen Funktionen etwas "vorzustellen".Du kannst ja dafŸr keinen Graphen "zeichnen", wiedas in der Schule Ÿblich war.Vielmehr tust Du gut daran, dich strikt an die - zugegebenermassen sehr abstrakte - Definition zu halten. Die besagt nun mal :
f ist R-integrabel
:<==> Unterintegral(f) = Oberintegral (f) (s.o.)
Uebrigens gibt es keine Stufe "die 2 hoch ist",
denn es ist ja immer f(p/q) = 1/q < 1.
Ad 3. Es ist O(Z) = S_1 + S_2 , wobei
S_1 := sum[alle i mit I_i in K_1]M_i*d_i,
S_2 := sum[alle i mit I_i in K_2]M_i*d_i.
S_1 besteht aus k Summanden M_i*d_i < 1*d_i = d_i
< max(d_i) = d, also ist S_1 < k*d.
FŸr S_2 gilt : M_i*d_i < (1/N)*d_i, also
S_2 < (1/N)*sum[i=0..(n-1)]d_i = (1/N)*1 .
(Fast) alles klar ?
Hans |
ariane
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 10:28: |
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Hallo Hans,
Danke, Danke, Danke!
Jetzt hab ichs wirklich!
Ariane |
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