| Autor |
Beitrag |
    
thaeusel (Waldi)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 09:05: | 
|
Hallo an alle Cracks,
kann mir jemand hierzu weiterhelfen?
Vorgelegt ist das Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung
y’(x) + 2xy(x) = 3x ; y(0) = 0 ;
Berechnen Sie die Lösung im Intervall[0,1] und geben Sie y(1) an.
a)analytisch,
b)numerisch mit dem Euler-Cauchy-Verfahren
bei einer Schrittweite von
h = 0,2 und bei fünf mitgeführten Dezimalstellen!
Im voraus vielen Dank
Gruß Thomas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 08:26: |
|
Hi thaeusel ,
Zuerst ermitteln wir die exakte Lösung dieser inhomogenen
linearen DGl. erster Ordnung .
1.
Lösung der homogenen Gleichung y' + 2 x y = 0
durch Trennung der Variablen:
dy / y = - 2 x ; Integration:
ln y = - x ^ 2 + ln c
y = c * e ^ (- x^2) als allgemeine Lösung der homogenen Gl.
mit c als Integrationskonstante.
Ermittlung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung.
Ansatz: y = ax + b , daraus y' = a , eingesetzt:
a + 2 x ( a x + b ) = 3x , geordnet:
2 a x ^ 2 + ( - 3 + 2 b ) x + a = 0, diese Gleichung muss für alle x gelten.
Ein Koeffizientenvergleich gibt (ohne Widersprüche):
a = 0 , - 3 + 2 b = 0 ; somit ist die Konstante y = b = 3/2 eine partikuläre
Lösung der inhomogenen Gleichung.
Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet somit:
y = c * e ^ ( - x ^2 ) + 3 / 2 .
Berücksichtigt man die Anfangsbedingung y(0) = 0 , so ergibt sich
für die Konstante der Wert c = - 3 / 2
Die gesuchte spezielle Lösung ist somit
y = 3 / 2 * [ 1 - e ^ ( - x ^2 ) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Funktionswerte im Intervall [0,1] für x = k* 0,1 mit
k = 0,1 ....,10 sind:
0 / 0.01493 / 0.05882 / 0.12910 / 0.22178 / 0.33180 /0.45349 /0.58106 /
0.70906 / 0.83271 / 0.94818.
Diese Zahlenreihe dient zu Vergleichszwecken mit den aus der
Teilaufgabe b) errechneten Näherungswerten,
welche mit dem Streckenzugverfahren von Euler gewonnen werden.
Davon ev. später !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser |
|
