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klara
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 21:48: |
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Kleines Problem, dessen Lösung ich leider dringend benötige: 1) Geben Sie die Matrix A der linearen Abbildung an, die (1/0/1) auf (1/0/1), (1/1/0) auf (0/0/0) und (0/0/1) auf (1/1/0) abbildet! 2) S sei die Matrix der inearen Abbildung, die einen beliebigen Punkt x element von R³ an der Ebene x+y = 0 spiegelt. Berechnen Sie S. Vielen Dank im Voraus!! |
Ysanne (Ysanne)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 13:34: |
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1) Die Vektoren sind alles Spaltenvektoren... Sei A mal folgende Matrix: a b c d e f g h i A*(1/0/1) = (1/0/1) Also: a + c = 1 d + e = 0 g + i = 1 A*(1/1/0) = (0/0/0) Also: a + b = 0 d + e = 0 g + h = 0 A*(0/0/1) = (1/1/0) c = 1 f = 1 i = 0 Dieses System lösen wir einfach und bekommen: a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, e = 1, f = 1, g = 1, h = -1, i = 0. 2) Die Z-Koordinate bleibt, weil die Ebene nur in x-y-Richtung geneigt ist, unverändert. Die letzte Zeile von S ist also (0/0/1). Jetzt betrachten wir mal den Schnitt bei z = 0. Die blaue Linie ist die Spiegelachse, AA' steht darauf also senkrecht. Die Spiegelachse ist netterweise Winkelhalbierende des 2. und 4. Quadranten. Also kann man einfach die senkrechte rote Linie nach unten fällen und schauen wo P ist; bei A haben wir dabei einen 45°-Winkel und bei P dementsprechend auch. Dieses Dreieck APQ ist, eben wegen der Spiegelung, kongruent zu A'PQ. Also ist A'P = AP und wegen der Winkelhalbierenden-Sache dann a' = -b. Analog ist b' = -a. Also geht die Abbildung so: S*(a/b/c)=(-b,-a,c) also ist S = 0 -1 0 -1 0 0 0 0 1 |
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