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Ariane
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 13:30: | 
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Hallo,
ich lernen gerade für mein Vordiplom und bin bereits im AnaI-Skript auf eine Sache gestoßen, die ich mir nicht erklären kann. Folgende Funktion f: R->R
f(x) = x für x aus Q
x + x2 sonst
Es heißt jetzt, sie ist an keiner Stelle außer 0 stetig (warum ist sie denn in der 0 stetig?), aber in 0 diffbar (warum ist sie dort diffbar, aber anderswo nicht?).
Mein Hauptproblem an der Sache ist also, daß ich nicht so ganz den Unterschied zwischen der 0 und anderen Zahlen für diese Funktion sehe.
Wäre nett, wenn mich jemand "vom Schlauch hebt".
Danke
Ariane |
Katja (Krümel)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 17:10: |
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Hi Ariane!
Kann es sein, dass sie in O stetig ist, weil beide Grenzwerte O sind, und sonst nicht stetig, weil die Bedingung d(x,x0)< d Þ d(f(x),f(x0))< e nicht erfüllt ist für x ¹ 0 ?! Und wenn sie nicht stetig ist kann sie auch nicht diffbar sein, oder?
Ich weiß auch, bin ja nicht gerade das was man ein Mathegenie nennt ;o) |
monika
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 18:00: |
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also ariane, das verhält sich folgendermassen:
wie du weißt, impliziert die folgenstetigkeit die stetigkeit. dh betrachtest du den rechtsseitigen bzw linksseitigen grenzwert von f gegen null, so gilt: rlim n->0 f(x)=0 und llim n->0 f(x)=0, also f in x=0 schon mal stetig. weiter gilt:
f'(x)=1, x aus Q und 1+2x, für x aus R. also gilt wiederum: rlim x->0 f'(x)=llim x-> f'(x)=1 und somit ist f in 0 stetig+ diffbar.
für alle anderen Zahlen ist f weder stetig (und damit erst recht nicht diffbar), weil die rationalen zahlen dicht in den reellen liegen(dh zwischen zwei reellen zahlen liegt immer eine rationale) und somit ist der linksseitige bzw rechtsseitige grenzwert nicht eindeutig bestimmbar und damit nicht existent. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 07:23: |
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Hallo Ariane
Nehmen wir eine beliebige reelle Zahl a, so finden wir sowohl eine rationale, als auch eine nichtrationale Folge, die gegen a konvergiert. Die Bildfolgen konvergieren dann gegen a bzw. a+a². Damit die Funktion stetig ist, müssen diese zwei Zahlen gleich sein, das ist genau der Fall, wenn a=0 ist.
Dann ist aber auch die Funktion stetig, denn jede Folge lässt sich in eine rationale und irrationale Teilfolge zerlegen. Wenn jede gegen 0 konvergiert, konvergiert auch die (wieder) zusammengesetzte Folge gegen 0.
viele Grüße
SpockGeiger |
ariane
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 11:42: |
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Vielen Dank an alle!
Ihr habt mir echt geholfen! |
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