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Beitrag |
    
schlumpf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 11:59: | 
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Man ermittle den minimalen Abstand eines Punktes P der Ebene x+y+z+4=0 von der Oberfläche des Paraboloiden (x+6)^2 + (y-3)^2 = z-2!
Danke! |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 21:26: |
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Hallo schlumpf,
Wir legen eine Tangentialebene ET parallel zur Ebene E an das Paraboloid.
Der Abstand der beiden Ebenen ET und E ist dann der gesuchte Minimalabstand. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 21:49: |
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Hallo schlumpf,
Jetzt die Ausführung der Aufgabe:
Ebene E: x+y+z+4 =0
Paraboloid: z = (x+6)²+(y-3)²+2
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Wir schreiben die Ebene ebenfalls explizit: z = -x-y-4
Füe die Tangentialebene gilt:
die partiellen Ableitungen ¶z/¶x und ¶z/¶y müssen für Ebene und Paraboloid gleich sein.
¶z/¶x = 2x+12 = -1
¶z/¶y = 2y -6 = -1
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daraus: x= -13/2
y = 5/2
eingesetzt in Paraboloid: z = 5/2
Der Berührungspunkt P ist also (-13/2; 5/2; 5/2)
und die Tangentialebene hat die Gleichung:
-1(x+13/2) - 1(y - 5/2) - (z - 5/2 = 0
geordnet:
x + y + z = -3/2 Gleichung der Tangentialebene ET
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Abstand der beiden Ebenen ergibt sich aus der Hesseschen Normalform:
Wir dividieren beide Ebenengleichungen durch W(1²+1²+1²) = W(3)
Die rechten Seiten sind dann der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Für E: -(4/3)W(3)
Für ET: -(1/2)W(3)
Und der gesuchte Abstand ist die Differenz:
d = (5/6)W(3)
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schmitti
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 09:43: |
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Hallo Fern
Wieso werden die partiellen Ableitungen = -1 gesetzt? |
schmitti
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 09:50: |
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Wie kommst Du auf die -(4/3)bei -(4/3)W(3) sowie auf die -(1/2) bei -(1/2)W(3).
Kurze Erläuterung wäre toll.
Danke! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 10:47: |
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Hallo schmitti,
Ebene E: z= -x-y-4
Ableitung nach x: -1
Ableitung nach y: -1
Paraboloid: z= (x+6)²+(y-3)²
Ableitung nach x: 2x+12
Ableitung nach y: 2y-6
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Ableitung nach x für beide gleich: 2x+12 = -1
Ableitung nach y für beide gleich: 2y-6 = -1
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Abstand E vom Ursprung:
x+y+z = -4
Wir dividieren durch W(1²+1²+1²)=W(3)
(x+y+z)/W(3) = -4/W(3)
Auf der rechten Seite der Gleichung steht dann der gesuchte Abstand vom Ursprung: -4/W(3) = -(4/3)*W(3)
Genauso mit der Ebene ET: x+y+z = -3/2
Abstand = -(3/2)/W(3) = -(1/2)W(3)
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