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schlumpf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 11:55: | 
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Möchte erst mal Danke sagen an alle die mir hier helfen. Ohne euch hätte ich die Matheklausur "Mathe I" nicht bestanden. Denke, dass ich auch mit eurer Hilfe "Mathe II" bestehen werde.
Lambda in der Aufgabe = p
Für welchen Wert von p wird das Gleichungssystem
2x + 3y - z = 2
3x + py + 4z = 5
7x + 4y + 2z = 8
unlösbar? Durch welche Zahl mußdie 8 auf der rechten Seite der letzen Gleichung ersetzt werden, damit für den gefunden Wert von p das Gelichungssystem wieder lösbar wird?
Geben Sie alle Lösungen des Gleichungssystemes an! |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 20:12: |
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Hallo schlumpf,
Das System hat keine Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante = 0 ist.
Dies ist der Fall für p= -2
Da die Koeffizientendeterminante unabhängig von der "8" ist, gibt es
für p= -2 keine Lösung, auch nicht mit anderen Zahlen auf der rechten Seite. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 07:05: |
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Hallo Schlumpf
Leider ist die Lösung von Fern nicht ganz richtig. Wenn die Determinante 0 ist, dann hat das LGS keine EINDEUTIGE Lösung. D.h, wenn sie eine Lösung hat, dann hat sie gleich unendlich viele (in R).
Hier eine Lösung mittels Treppenform (geht immer, auch mit nichtquadratischen Matrizen), wobei ich statt der Acht a schreibe, um dann den gesuchten Wert für die Acht zu ermitteln:
Aufstellen der erweiterten Matrix:
Nun formen wir die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen um:
Division der ersten Zeile durch 2:
Nun ziehen wir von der zweiten das dreifache der ersten ab, und von der dritten das siebenfache der ersten:
| 1 | 3/2 | -1/2 | 1 | | 0 | p-9/2 | 11/2 | 2 | | 0 | -13/2 | 11/2 | a-7 |
Nun vertauschen wir die zweite und dritte Zeile:
| 1 | 3/2 | -1/2 | 1 | | 0 | -13/2 | 11/2 | a-7 | | 0 | p-9/2 | 11/2 | 2 |
Dividieren die zweite Zeile durch -13/2:
| 1 | 3/2 | -1/2 | 1 | | 0 | 1 | -11/13 | -2/13(a-7) | | 0 | p-9/2 | 11/2 | 2 |
Ziehen das p-9/2 fache der zweiten von der dritten Zeile ab:
| 1 | 3/2 | -1/2 | 1 | | 0 | 1 | -11/13 | -2/13(a-7) | | 0 | 0 | 11/2+11/13(p-9/2) | 2+(p-9/2)2/13(a-7) |
Nun gilt folgendes:
Wenn der (3,3)-Eintrag ungleich 0 ist, so ist das System eindeutig lösbar. Um das zu entscheiden, formen wir es noch um:
11/2+11/13(p-9/2)=11/2-99/26+11/13*p=44/26+22/26*p
Das ist 0, wenn p=-2 ist (gleich 0 setzen, und auflösen)
Für p=-2 ist das System also auf jeden Fall nicht eindeutig lösbar, setzen wir nun p=-2 ein:
| 1 | 3/2 | -1/2 | 1 | | 0 | 1 | -11/13 | -2/13(a-7) | | 0 | 0 | 0 | 2+(-2-9/2)2/13(a-7) |
Der Eintrag rechts unten ist:
2-(a-7)=9-a
Ist also 0, wenn a=9 ist. Also: wenn statt der 8 eine 9 dasteht, so hat das System unendlich viele Lösungen. Für andere Werte steht da, wenn man sich die letzte Zeile der Matrix wieder als Gleichung hinschreibt:
0*x+0*y+0*z=c (c irgendeine Zahl ungleich 0)
Auf der linken Seite steht immer 0, also kann man diese gleichung nie erfüllen, also gibt es keine Lösung.
viele Grüße
SpockGeiger |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 09:09: |
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Hallo schlumpf und SpockGeiger,
Da habe ich wohl wieder einmal zu schnell geantwortet ohne zu überlegen.
SpockGeiger hat natürlich Recht! |
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