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Gleichmäßige Stetigkeit vs Stetigkeit...

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Anna
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 13:30:   Beitrag drucken

Hi,

kann mir irgendjemand den genauen Unterschied zwischen normaler Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit erklären?
Es geht hierbei speziell um das epsilon-delta-Kriterium. Was darf oder muß da von wem abhängen?
Und vor allem: Wie rechnet man das nun, d.h. wie findet man ein entsprechendes epsilon bzw. delta?
Ein Beispiel wäre toll!°

Danke

Anna
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Oliver Gerber (Olivergerber)
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 14:41:   Beitrag drucken

Hallo Anna!

Am besten schreib ich dir erstmal die Definitionen auf:

Eine Funktion f heißt stetig auf D, wenn gilt: für alle e>0 und alle x0 aus D existiert ein d>0, so dass für alle x aus D gilt: aus |x-x0|<d folgt |f(x)-f(x0|³)e.

Eine Funktion f heißt gleichmäßig stetig auf D, wenn gilt: für alle e>0 existiert ein d>0, so dass für alle x0 aus D und alle x aus D gilt: aus |x-x0|<d folgt |f(x)-f(x0|³)e.

Der wesentliche Unterschied ist also dieser: Bei der "normalen" Stetigkeit gibt es für jedes x0 ein eigenes d, während es bei der gleichmäßigen Stetigkeit für alle x0 dasselbe d tun muss.

Hier ein Beispiel:

Die Funktion f(x):=x² ist stetig auf ganz R. Zu jedem e wählst du einfach d:=Öe.

Weil die gewählte d-Schranke aber noch von e abhängt, ist f(x):=x² nicht gleichmäßig stetig auf R. Wenn du nämlich dein e größer machst, wird also auch das d größer. Du kannst also kein d finden, dass es für alle e tut.

Ich hoffe mal, ich konnte dir damit helfen (und du bist beim Lesen nicht vor Langeweile eingeschlafen).

Ciao. Oliver

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