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Beitrag |
    
martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 00:59: | 
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Bitte Hilfe!
Gegeben sei die Matrix A=
2 -1
-1 2
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Läßt sich diese Matrix diagonalisieren? Falls ja, bringen Sie sie auf Diagonalgestalt, falls nein, begründen Sie ihre Antwort.
Bestimmen Sie die 2x2 Matrix B, die im R2 bezüglich der Standardbasis der Spiegelung an der 1. Mediane (d. h. der Geraden y=x)entspricht.
Wenn ich diese Aufgabe löse, erhalte ich ein ganz eigenartiges Ergebnis, das kaum stimmen kann. Wäre wirklich froh, wenn das jemand ordendlich durchrechnen könnte. Danke. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 09:02: |
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Hilfe zur Selbsthilfe :
1) Falls A diagonalisierbar ist, so stehen in der
entspr. Diagonalmatrix die Eigenwerte l_1,l_2 von A. Letztere sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
f(t) = t^2 - 4t + 3
Da A symmetrisch ist, sind l_1,l_2 reell, und es
gibt eine orthogonale Matrix U sodass
U^T A U = diag(l_1,l_2) (T fuer "transponiert")
Die Spalten u_1, u_2 von U sind die Eigenvektoren von A, man gewinnt sie durch Aufloesen von
(A - l E)u = 0 fuer l = l_1 bzw. l = l_2
Die Aufgabe ist sehr einfach. Du kannst das
Resultat leicht durch die Probe kontrollieren.
2) Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die
Bilder der Basisvektoren e_1 , e_2. Diese sieht
man hier sozusagen mit blossem Auge, man kann
also das Resultat sofort hinschreiben.
Have fun
Hans |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 12:46: |
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Hallo Hans,
Muss es nicht heißen:
UAU-1= diag(l_1,l_2).........(U-1 für inverse U)
an Stelle von:
U^T A U = diag(l_1,l_2).........(T für "transponiert") ?
Gruß, Fern |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:29: |
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Im vorliegenden Fall ist A reell-symmetrisch,
daher ist U orthogonal : U^(-1) = U^T . Allgemein
heisst es natuerlich U^(-1) A U = D. Dabei sind
die Spalten von U die Eigenvektoren von A.
Statt dessen kann man natuerlich auch schreiben:
V A V^(-1) = D mit V = U^(-1) .
Hans |
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