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Beitrag |
    
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:30: | 
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Hallo, ich habe folgendes Problem:
es ist mir ja absolut klar, daß die Potenzmenge der Natürlichen Zahlen bereits die gleiche Kardinalität aufweist
wie die Reellen Zahlen (den Beweis mit Hilfe des Cantorschen Diagonalisierungsverfahren 2.Art habe ich verstanden), aber man betrachte das folgende Schema, mit dessen Hilfe ich doch alle Teilmengen von N 'durchwandern' kann.
max=0 | {}
max=1 | {1}
max=2 | {2},{1;2}
max=3 | {3},{1;3},{2;3},{1;2;3}
max=4 | {4},{1;4},{2;4},{3;4},{1;2;4},{1;3;4},{2;3;4},{1;2;3;4}
max=5 | {5},{1;5},{2;5},{3;5},...,...,...
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Dieses Schema liefert doch paradoxerweise eine surjektive Abb. s:N->P(N), oder nicht ???
Wo ist mein Denkfehler ???
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte !
Ciao Lars |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 23:21: |
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Hi Lars,
Dein Schema ist zwar sehr geordnet, aber versuche doch bitte mal die Abbildung konkret anzugeben.
Ich meine folgendes: Die Abbildung von N auf die geraden natürlichen Zahlen ist f: n -> 2n.
Mit Hilfe der Abbildung kann man für jedes Element der Bildmenge seinen Platz in einer numerierten Liste angeben.
Das Schema zeigt, wie man die Teilmengen von {1,2,...,n} für ein festes aber beliebiges n sortieren kann, damit man sie numerieren kann.
Das Problem sollte in dem exponentiellen Wachstum der Mengen in jeder Teilliste für max=n liegen.
Man könnte nach der gleichen Denkart auch eine scheinbar surjektive Abbildung von N in R oder auch (was ebenso unmöglich ist) in das Intervall [0,1[ suggerieren:
Liste in einer Zeile jeweils die rellen Zahlen aus [0,1[, deren kürzeste Dezimaldarstellung nach dem Komma genau n Stellen zur Notierung erfordert.
Also:
maxstellen=0 -> 0.0
naxstellen=1 -> 0.1 0.2 0.3 ... 0.9
maxstellen=2 -> 0.01 0.02 ... 0.09 0.11 .... 0.99
usw.
Hier wird nicht eine surjektive Abbildung von N->[0,1[ angegeben, sondern umgekehrt, eine surjektive Abbildung von [0,1[ -> N.
Man kann also die Rellen Zahlen aus [0,1[ so anordnen, daß jede eine natürliche Zahl als Nummer erhält. Aber diese Abbildung ist nicht umkehrbar. Man weiß zwar, daß die 0.1 in der Aufzählung der reelen Zahlen die Nummer 2 bekommen hat, aber wenn die Liste, die man aufschreibt, nur die ersten 10000 rellen Zahlen numeriert, dann weiß man nicht, welches xeR zur Nummer 20000 gehören wird, außer man schreibt die Liste bis dahin weiter.
Man macht es sich nicht immer klar, aber z.B. die Abbildung von N->Q kann explizit angeben.
Ich habe die Formel aber nicht griffbereit.
Aber die Frage ist schon wert gestellt zu werden.
Gruß
Matroid |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 20:16: |
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Hallo Matroid
Kleine Korrektur: Deine Abbildung ist auch keine Abbildung von [0,1[ nach N, denn p oder e oder wurzel(2) haben kein Bild, da sie keine endliche Dezimaldarstellung haben. Nicht einmal 1/3 hätte hier ein Bild.
viele Grüße
SpockGeiger |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 20:33: |
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Ist mir nachher auch noch eingefallen.
Allerdings kann man in die Numerierung der reelen Zahlen auch irgendein in R gefundenes p oder e auch aufnehmen. Gib dem p die Nummer 1, dem e die Nummer 2 ... Und dann beginne mit der 3 für den Rest.
Nun kommt der Einwand: Es ist aber unmöglich eine Liste aller unendlichen langen, nicht periodischen Dezimalbrüche aufzustellen. Das stimmt und ich versuch's auch nicht.
Aber der Unterschied zwischen Surjektivität in der einen und in der anderen Richtung sollte ja auch nur an einem alternativen Beispiel verdeutlicht werden.
Gruß
Matroid |
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