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Dirk (Verres)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 10:57: |
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Hi, Wie zeige ich dass die Summe der Bk mit geradem k gleich der der Bk mit ungeradem k ist? Bsp: 6 +6 = 6 +6 +6 3 5 2 4 0 |
Dea (Dea)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 12:22: |
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Hallo Dirk, leider kann ich das nicht so gut lesen. Du meinst aber ziemlich sicher: (6über3) + (6über5) = (6über2) + (6über4) + (6über0)= 20 + 6 = 15 + 15 + 1 26 = 31 ??? Zum Text: Summe der Bk mit geradem k gleich Summe der Bk mit ungeradem k (n=6): (6über0) + (6über2) + (6über4) + (6über6) = (6über1) + (6über3) + (6über5) 1 + 15 + 15 + 1 = 6 + 20 + 6 32 = 32 Für ungerade n ist das ganz einfach: (n_über0) + (n_über2) + (n_über4) + ... + (n_über_(n-1)) = (n_über1) + (n_über3) + (n_über5) + ... + (n_über_n) Da gilt (n_über_k) = (n_über_(n-k)), steht auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche. Für gerade n ist das schon schwieriger. Man kann folgende Formel zu Hilfe nehmen: (n_über_k) = ((n-1)_über_(k-1)) + ((n-1)_über_k) Außerdem braucht man die "Hilfsformeln": (n_über_0) = ((n-1)_über_0) und (n_über_n) = ((n-1)_über_(n-1)) Damit erhält man: (n_über_0) + (n_über_2) + ... + (n_über_(n-2)) + (n_über_n) = (n_über_1) + (n_über_3) + ... + (n_über_(n-3)) + (n_über_(n-1)) ((n-1)_über_0) + ((n-1)_über_1) + ((n-1)_über_2) + ... + ((n-1)_über_(n-3)) + ((n-1)_über_(n-2)) + ((n-1)_über_(n-1)) = ((n-1)_über_0) + ((n-1)_über_(1)) + ((n-1)_über_2) + ((n-1)_über_3) + ... + ((n-1)_über_(n-4)) + ((n-1)_über_(n-3)) + ((n-1)_über_(n-2)) + ((n-1)_über_(n-1)) Jetzt steht auf beiden Seiten der obigen Gleichung Summe i=0 bis n-1 über ((n-1)_über_i) q.e.d. Für n=6 z.B.: (6über0) + (6über2) + (6über4) + (6über6) = (6über1) + (6über3) + (6über5) = (5über0) + (5über1) + (5über2) + (5über3) + (5über4) + (5über5) Zum Verständnis: Die Summe der Binomialkoeffizienten für beliebiges n ist 2n. Daher läßt sich jede Summe 2n leicht in 2*2n-1 aufteilen. Ich hoffe, das war erschöpfend. Gruß, Dea |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 15:54: |
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Nach dem binomischen Satz gilt 0 = (1-1)^n = sum(k=0..n)(-1^k)*(binom(n,k)) = sum(k gerade)(binom(n,k)) -sum(k ungerade)(binom(n,k)) . |
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