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Binominalkoeffizienten

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Dirk (Verres)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 10:57:   Beitrag drucken

Hi,
Wie zeige ich dass die Summe der Bk mit geradem k gleich der der Bk mit ungeradem k ist?
Bsp:
6 +6 = 6 +6 +6
3 5 2 4 0
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Dea (Dea)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 12:22:   Beitrag drucken

Hallo Dirk,

leider kann ich das nicht so gut lesen. Du meinst aber ziemlich sicher:
(6über3) + (6über5) = (6über2) + (6über4) + (6über0)=
20 + 6 = 15 + 15 + 1
26 = 31
???

Zum Text: Summe der Bk mit geradem k gleich Summe der Bk mit ungeradem k (n=6):

(6über0) + (6über2) + (6über4) + (6über6) = (6über1) + (6über3) + (6über5)
1 + 15 + 15 + 1 = 6 + 20 + 6
32 = 32

Für ungerade n ist das ganz einfach:
(n_über0) + (n_über2) + (n_über4) + ... + (n_über_(n-1)) =
(n_über1) + (n_über3) + (n_über5) + ... + (n_über_n)
Da gilt (n_über_k) = (n_über_(n-k)), steht auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche.

Für gerade n ist das schon schwieriger. Man kann folgende Formel zu Hilfe nehmen:
(n_über_k) = ((n-1)_über_(k-1)) + ((n-1)_über_k)

Außerdem braucht man die "Hilfsformeln":
(n_über_0) = ((n-1)_über_0) und
(n_über_n) = ((n-1)_über_(n-1))

Damit erhält man:
(n_über_0) + (n_über_2) + ... + (n_über_(n-2)) + (n_über_n) =
(n_über_1) + (n_über_3) + ... + (n_über_(n-3)) + (n_über_(n-1))

((n-1)_über_0) + ((n-1)_über_1) + ((n-1)_über_2) + ... + ((n-1)_über_(n-3)) + ((n-1)_über_(n-2)) + ((n-1)_über_(n-1)) =
((n-1)_über_0) + ((n-1)_über_(1)) + ((n-1)_über_2) + ((n-1)_über_3) + ... + ((n-1)_über_(n-4)) + ((n-1)_über_(n-3)) + ((n-1)_über_(n-2)) + ((n-1)_über_(n-1))

Jetzt steht auf beiden Seiten der obigen Gleichung
Summe i=0 bis n-1 über ((n-1)_über_i) q.e.d.

Für n=6 z.B.:
(6über0) + (6über2) + (6über4) + (6über6) =
(6über1) + (6über3) + (6über5) =
(5über0) + (5über1) + (5über2) + (5über3) + (5über4) + (5über5)

Zum Verständnis:
Die Summe der Binomialkoeffizienten für beliebiges n ist 2n. Daher läßt sich jede Summe 2n leicht in 2*2n-1 aufteilen.

Ich hoffe, das war erschöpfend.

Gruß, Dea
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 15:54:   Beitrag drucken

Nach dem binomischen Satz gilt

0 = (1-1)^n = sum(k=0..n)(-1^k)*(binom(n,k))

= sum(k gerade)(binom(n,k))

-sum(k ungerade)(binom(n,k)) .

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