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Beitrag |
    
Schlumpf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 21:31: | 
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Man ermittle die Gleichung der gemeinsamen Senkrechten auf die Geraden
x + 4z + 1 = 0
x - 4y + 9 = 0
und
x + 2z +4 = 0
y = 0
Vielen dank für Eure Hilfe, wäre toll wenn ihr die Lösungsschritte detailiert erläutern könntet. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 11:47: |
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Hi Schlumpf,
Bei Deiner Aufgabe handelt es sich darum, die sogenannte
Minimaltransversale t zweier windschiefer Geraden g und h
zu ermitteln.
Die Minimaltransversale ist eine Gerade, welche g in G
und h in H schneidet und auf welcher der kürzeste Abstand
d = GH der beiden windschiefen Geraden liegt.
Diese Gerade t schneidet die beiden Geraden g und h je senkrecht.
II
Die Geraden g und h selbst sind die Schnittgeraden der in
Deiner Aufgabe gegebenen Ebenenpaare, und zwar sei
g die Schnittgerade der Ebenen
x + 4 z +1 = 0 und x - 4 y + 9 = 0
h sei die Schnittgerade der Ebenen
x + 2 z +4 = 0
y = 0
Wir ermitteln nun auf g zwei beliebige Punkte A und B ,
auf h ebenso zwei beliebige Punkte C und D.
A: wähle y = 0 , dann ergeben sich aus den ersten beiden
Ebenengleichungen x = - 9, z = 2 , also A (-9 / 0 / 2 )
B: wähle z = 0 und gehe analog vor; es entsteht B(-1 / 2 / 0 )
C: wähle x = 0 und benütze die anderen beiden Ebenengleichungen;
Du bekommst: C( 0 / 0 / - 2 )
D: wähle z = 0 und gehe analog vor; es kommt: D(- 4 / 0 / 0 ) .
III
Jetzt berechnen wir die Richtungsvektoren r1, r2 der beiden
Geraden g und h.
r1 = AB ={8;2;-2}= 2 * {4;1;-1} , r2 = CD = {-4 ;0;2}= 2* {-2;0;1}
Achtung: In den folgenden Berechnungen lassen wir, ohne Schaden
anzurichten, die beiden Faktoren 2 vor den geschweiften Klammern
weg
Das Vektorprodukt n dieser Richtungsvektoren r1 und r2 ergibt
einen Richtungsvektor der oben beschriebenen Minimaltransversalen t .
Wir berechnen flugs dieses Vektorprodukt: und bekommen:
n = r1 x r2 = { 1 ; - 2 ; 2 }
IV
Wir legen nun durch die Gerade h die Parallelebene E zu g
Diese Ebene geht durch den Punkt C und steht senkrecht zu dem in
III. bestimmten Vektor n; mithin ist n ein Normalenvektor der
gesuchten Ebene E.
Ansatz einer Koordinatengleichung für E:
x - 2y + 2z = d .
Da E - wie gesagt - durch C ( und auch durch D ) geht lässt sich d
bestimmen; es kommt d = - 4
Somit lautet die Ebenengleichung:
x - 2 y + 2z = - 4.
V
Wir bringen die Gleichung von E in die Normalform von Hesse,
indem wir die auf null gebrachte Gleichung durch den Hesse'schen
Divisor H dividieren; dabei ist H die Quadratwurzel aus der
Quadratsumme der Koeffizienten von x , y, z in der Ebenengleichung.
H = wurzel(1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2 ) = 3 ; die Normalform lautet:
(x - 2y + 2z + 4 ) / 3 = 0
Setzt man nun die Koordinaten des Punktes A (oder des Punktes B)
in die Normalform ein, so erhält man den kürzesten Abstand d der
windschiefen Geraden g und h, nämlich
d' = (-9 + 4 + 4 ) / 3 = - 1 / 3. Also d = abs ( d' ) = 1 / 3.
Wir werden später diesen Abstand auch ohne Hesse als Abstand der
Punkte G und H erhalten, in denen die Minimaltransversale t die
Geraden g und h schneidet.
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 13:09: |
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Hi Schlumpf,
VI
In den folgenden Abschnitten bestimmen wir die
angekündigte Minimaltransversale t.
Zunächst fällen wir von A aus das Lot l auf die Ebene E,
der Fusspunkt dieses Lotes in E sei der Punkt F.
Gleichung von l, Parameter s :
x = - 9 + s , y = 0 - 2 s , z = 2 + 2 s
Diese x -, y- ,. z -Werte setzen wir in die Gleichung für E ein
Es entsteht eine Gleichung für s:
- 9 + s + 4s + 4 + 4s = - 4 , daraus s = 1 / 9.
Damit erhält man die Koordinaten von F:
xF = - 80 / 9, yF = - 2 / 9 , zF = 20 / 9
VII
Plan:
Durch F legen wir die Parallele g° zu g.
Da E zu g parallel ist , liegt diese Parallele g° ganz in E
und schneidet daher die Gerade h , welche a fortiori in E liegt,
in einem Punkt H .
Heureka: dieser Punkt H ist der in Rede stehende Schnittpunkt
der Transversalen t mit h ,und es ist dann ganz leicht,
t vollständig zu ermitteln.
VIII
Durchführung des Plans
Gleichung von g° (Parameter t):
x = - 80 / 9 + 4 t , y = - 2 / 9 + t , z = 20/9 - t
Gleichung von h ( Parameter r )
x = 0 - 2 r , y = 0 + 0 r , z = - 2 + r
Wir ermitteln den Schnittpunkt dieser Geraden, indem wir
gleichnamige Koordinaten x , y , z einander gleichsetzen.
Wir erhalten mit t = 2/9 ( r = 4 ) den Schnittpunkt
H (- 8 / 0 / 2 ).
Durch H legen wir die Parallele t zu l ,deren Gleichung lautet:
(Parameter u) : x = - 8 + u , y = 0 - 2u , z = 2 + 2u
t justement ist die gesuchte Transversale t !
G erscheint als Schnittpunkt von t mit g.
Als Gleichung für g verwenden wir (Parameter v)
x = - 9 + 4 v , y = 0 + v , z = 2 - v
Der Schnittpunkt G ergibt sich mit u = - 1/9 ( v = 2/9) zu:
G ( -73/9 ; 2/9 ; 16/9)
Der kürzeste Abstand ergibt sich nochmals und zwar als Abstand d
der Punkte G und H:
d = wurzel [(-73/9+8)^2 + (2/9-0)^2 + (16/9-2)^2)] =
= 1/9 * wurzel [1 + 4 + 4] = 1 / 3 , wie früher.
Ende!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Schlumpf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 20:46: |
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Ihr seid echt spitze, Danke sagt der Schlumpf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 21:56: |
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Hi Schlumpf,
Morgen werde ich Dir die Spitze des Eisberges vorführen ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 21:46: |
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Hi Schlumpf,
Bei so viel Applaus gibt es eine Zugabe !
Im folgenden zeige ich Dir eine ganz andere, sehr wenig
bekannte Methode, wie man den Abstand windschiefer
Geraden ermitteln kann.
Wir betten die durch die beiden Ebenenpaare gegebenen
Geraden g und h in zwei zueinander parallele Ebenen E1
und E2 ein.
Der Abstand d dieser Parallelebenen ist der gesuchte
kürzeste Abstand.
Die Gesamtheit der Ebenen E(m) aller Ebenen durch die
Schnittgerade g der ersten beiden Ebenen bildet ein
sogenanntes Ebenenbüschel mit g als Büschelachse.
Die folgende Gleichung stellt eine beliebige Ebene dieses
Büschels dar:
x + 4z + 1 + m(x -4y + 9 ) = 0 , oder geordnet :
(1+m) x - 4 m y + 4z + ( 1 + 9 m = 0.................(Ebenenschar E(m))
Dabei ist m ein beliebiger reeller Parameter.
Es ist leicht durchschaubar, wie ich diese Büschelgleichung
aufgestellt habe.
Es wird Dir nicht schwer fallen, auch die Gleichung des von der
dritten und vierten Ebene bestimmten Büschels mit der
Schnittgeraden h als Büschelachse und dem reellen Parameter n
aufzustellen.
Richtig:
x + 2z + 4 + n y = 0 ,oder geordnet
x + ny + 2 z + 4 = 0...............................................(Ebenenschar (E(n))
Jetzt greifen wir aus jeder Schar je eine Ebenen heraus,
E1 aus E(m) , E2 aus E(n) , sodass sie zueinander parallel sind
Wir benützen das folgende Koeffizientenkriterium :
Wenn die Ebenen E1 und E2 parallel sein sollen, bilden die
Koeffizienten von x , y , z eine fortlaufende Proportion.
Es gelten somit die beiden Gleichungen:
(1+m) / 1 = - 4 m / n = 4 / 2
Daraus ergeben sich die Parameterwerte m = 1 , n = - 2 (einsetzen!)
Die entsprechenden Ebenen sind:
E1: 2x - 4y + 4z + 10 = 0
E2 : x - 2y + 2z + 4 = 0
In E2 erkennen wir eine alte Bekannte :
Es ist die Ebene E der vorhergehenden Arbeit.
Um d zu berechnen , schreiben wir E2 in Normalform:
E2: (x - 2y + 2z + 4 ) / 3 = 0
Der Punkt P ( - 5 / 0 / 0 ) liegt auf E1.
Sein Abstand von E2 ist nach Hesse dem Betrag nach
d = 1/3 , ein bekanntes Resultat.
Dies ist aber nur die Spitze des Eisberges !
Wenn Du noch mehr zum Thema wissen möchtest, und das kann
nichts schaden ,schau im Archiv unter "Minimaltransversale" nach.
Unter anderem wird die Bestimmung des kürzesten Abstandes als Minimalproblem für eine Funktion mit mehreren Variablen
vorgeführt.
Viel Vergnügen beim Studium wünscht
H.R.Moser,megamath |
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