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Schlumpf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 21:20: | 
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Man bestimme den Vektor a, der aus dem Vektor
a = (6,minus Wurzel(2), -6) durch Spiegelung an der Ebene x - Wurzel(2y) + z = 1 entsteht.
Genaue Erläuterung wäre toll. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 20:25: |
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Hi Schlumpf
Als Vorbereitung berechnen und deuten wir das Skalarproukt
zweier Vektoren v und n; der letztere Vektor sei ausdrücklich ein
Einheitsvektor, also ein Vektor vom Betrag eins.
Das Skalarprodukt S dieser Vektoren stimmt dann überein mit dem
Produkt des Betrages von v und dem Kosinus des Zwischenwinkels
phi der beiden Vektoren,
S bedeutet somit die Länge der mit einem Vorzeichen versehenen
Projektion des Vektors v auf die gerichtete Trägergerade des Vektors n
S ist positiv oder negativ, je nachdem phi spitz oder stumpf ist.
Weiterhin soll die Differenz zweier Vektoren, deren Anfangspunkte zusammenfallen,
geometrisch interpretiert werden.
Im Besitz dieser Vorkenntnisse kannst Du die Lösung Deiner Aufgabe
leicht einsehen:
Ist n ein Normaleneinheitsvektor der Spiegelungsebene und v der
zu spiegelnde Vektor ,so erhalten wir den gespiegelten Vektor v'
mit dem folgenden Prozedere
v ' = v - 2 * S * n , wobei S das Skalarprodukt der Vektoren n und v ist
In Deinem Fall ist n der Vektor n = ½ * { 1 ; - wurzel(2) ; 1 }
wie man der Ebenengleichung entnimmt
(Kontrolle, dass ein Einheitsvektor vorliegt !) .
v ist gegeben: v = { 6; -wurzel(2); -6 }
Das Skalarprodukt dieser Vektoren ist:
S = v n = ½* (6+2-6) = 1
Damit erhalten wir den gespiegelten Vektor v' gemäss obiger Formel zu:
v ' = v - 2 * S * n = { 6 - 1 ; - wurzel(2) + wurzel(2) ; -6 - 1 }
= {5 ; 0 ; - 7 }
==========
Zur Kontrolle berechnen wir die Beträge von v und v' .
Beide stimmen im Wert wurzel (74) trefflich überein.
Die Abbildung ist bekanntlich längentreu mit Orientierungsumkehr.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
schmitti
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 09:17: |
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Hallo, wie kommen Sie auf die 1/2 bei der Angabe des Einheitsvektors n = 1/2 *{1;-Wurzel(2);1}.
Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 14:37: |
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Hi Schmitti,
Der Vektor v = {1;-wurzel(2);1} hat den Betrag
abs (v) = wurzel (1+2+1) = wurzel(4) = 2
Wir "stauchen" ihn , indem wir ihn mit dem
Reziprokwert seines Betrages, d.h. mit ½ ,
multiplizieren.
Der gestauchte Vektor ½ * v = n hat den Betrag eins,
gerade so, wie es im Text verlangt wird.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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