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Diffbare Funktionen

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Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 20:18:   Beitrag drucken

Wieder einmal benötige ich Hilfe um meine Unwissenheit zu verbergen! Oder einfach, weil ich es nicht hinbekomme:

Es sei V=Coo(R) (soll heißen: Komplexe Zahlen hoch unendlich von den reellen Zahlen) der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren reellen Funktionen f:R->R, x->f(x).
a) Berechnen Sie in V den Lösungsraum des homogenen linearen Differentialgleichungssystems
..y1........y1..............-1 0 0
(y2) = A (y2) mit A = (1 -4 -3) element aus R4x4. (reelle Zahlen hoch 4x4)
..y3........y3..............-1 6 5
b) Berechnen Sie alle Lösungen des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems
..y1.........y1......x
(y2)' = A (y2) + (0) BEACHTE den Strich am ersten Vektor!!
..y3.........y3......0

Bedanke mich herzlichst.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 09:51:   Beitrag drucken

Koenntest Du das so aufschreiben, dass ein
normaler Mensch (soweit dieses Attribut ueberhaupt
auf einen Mathematiker zutrifft ) lesen kann ?
Sollte es sich hier um ein lineares Diff.-Gleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten handeln, so besteht die uebliche
Methode darin, das ganze auf Diagonalform zu
transformieren.
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Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:01:   Beitrag drucken

Sorry, aber schnall die Formatierung hier nicht so ganz. Aber ich versuchs in Worten:

V=Coo(R) also auf dem Blatt steht C für Komplexe Zahlen. Dieses C hat oben im Index in unendlich, und danach steht in Klammern ein R für Reelle Zahlen. Das ist aber im Prinzip egal, da ja dahinter steht, was es zu bedeuten hat: der Vektorraum der unendlich oft diffbaren reellen Funktionen!

Das mit den vielen Punkten hab ich gemacht, damit ich die Elemente der Vektoren bzw. Matrizen in die richtige Position bekomme. Denk dir die Punkte einfach weg.
Bei a) steht also: Die Ableitung eines Vektors ist gleich A mal den Vektor, wobei A eine Matrix ist. A ist quadratisch und hat 9 Elemente. Ist aber element aus R^4x4.
Bei b) steht: Die Ableitung eines Vektors ist gleich A mal der Vektor plus einein Vektor (x 0 0)^tr.

Ich hoffe es ist klarer geworden. Wenn nicht: Mekert einfach, dann such ich jemanden, der mir das Teil einscannt.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 16:18:   Beitrag drucken

Wenn ich das richtig interpretiere, haben wir also

Y'(t) = A Y(t)

mit A = ([-1,0,0] , [1,-4,-3] , [-1,6,5])

was zeilenweise zu verstehen ist, und wobei

Y(t) := (y_1(t),y_2(t),y_3(t))^T

(^T fuer "transponiert").

Die Eigenwerte von A sind -1 (doppelt) und 2.
Aus der 1. Komponentengleichung folgt uebrigens
unmittelbar y_1(t) = C_1*exp(-t).
Versuche mal mit diesen Hinweisen zu starten.
Wenn's nicht weitergeht : fragen kostet nichts.

Hans
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 19:19:   Beitrag drucken

So ginge es dann weiter :

Wie Du bemerkt haben wirst, ist der EW -1 ausgeartet. Mit

U = ([1,0,0],[0,-1,1],[0,1,2])

kann man nur

U^(-1) A U = ([-1,0,0],[1,-1,0],[0,0,2])=:J

erreichen. Das Gl.-System fuer

Z=(z_1(t),z_2(t),z_3(t)):= U^(-1) Y

lautet jetzt

Z'(t) = J Z(t)

und laesst sich leicht aufloesen :

z_1(t) = C_1*exp(-t),z_2(t) = (C_1*t+C_2)*exp(-t),

z_3(t) = C_3*exp(2t). (Rechne nach)

Schliesslich ist

Y(t) = U Z(t).


Gruss

Hans

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