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Ringe, Körper, Primzahl Eilt!!!!!!...

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Christiane
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 14:55:   Beitrag drucken

Beweisen sie, dass der Ring (Z(m), + , *) genau
dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist.
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revo
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 15:15:   Beitrag drucken

was bedeutet Z(m)?
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Christiane
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 19:56:   Beitrag drucken

(m) ist der Index von Z
Also Z mit so `nem kleinen m unten rechts.
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revo
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 07:32:   Beitrag drucken

sind Z die ganzen Zahlen? was bewirkt der Index? Kannst du mir bitte ein paar (zahlen und rechen) beispiele geben.
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 09:43:   Beitrag drucken

Hallo Christiane,
um welche Vorlesung geht es denn?
Seid ihr gerade mit Integritätsringen, Quotientenkörpern, Idealen etc. beschäftigt?

Den ersten Teil für den Beweis über die Restklassenringe kann man auch einfacher haben:

Sei m nicht Primzahl.
Dann ex. zwei Zahlen 1<p,q<m mit pq=m.
Damit gilt für die Restklassen p,q ungleich der Restklasse 0
p*q = pq mod m = m mod m = 0
D.h. es ex. Nullteiler in Z(m)
=> (Z(m),+,*) ist kein Körper

(habt ihr schon die Nullteilerfreiheit von Körpern nachgewiesen?)

also: (Z(m),+,*) Körper => m Primzahl

Hallo Revo,
in den ganzen Zahlen ist die Division mit Rest definiert: Für ein festes m läßt sich jede Zahl n aus Z in der Form n = p*m + r mit 0<=r<=m-1 darstellen.
Damit wird mit der Modulo-Operation n mod m = r jedes n einer Restklasse r zugeordnet.
Z(m) besteht also aus den Restklassen {0,..,m-1} (dargestellt durch die Repräsentanten 0,..,m-1)
Für zwei Restklassen a,b aus Z(m) ist dann eine Addition und Multiplikation definiert:
a+b = a+b mod m und a*b = ab mod m

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