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Cauchysche Integralkriterium

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Gudrun
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 17:50:   Beitrag drucken

meine zwei Probleme:

Mit Hilfe des Cauchyschen Integralkriterium ist die Konvergenz zu überprüfen!

1)Summe von n=2 bis unendlich (kann leider nicht besser!) von n*e^(1-n^2)

2)Summe von n=2 bis unendlich von n/(n^3 + n^2 - n -1)
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 18:59:   Beitrag drucken

Hallo :

Das Integralkriterium besagt :
f : [m,oo[ --> R sei stetig, positiv und monoton
fallend. Dann sind folgende Aussagen (1) , (2) aequivalent :

(1) int[m,oo]f(x)dx existiert

(2) sum[k=m..oo]f(k) ist konvergent

Beispiel 1) : Bis auf den Faktor e ist

f(x) = x*exp(-x^2) , x >= 2 .

PrŸfe nach, dass f'(x) < 0 . Das Integral ist
elementar auszuwerten.

Beispiel 2) Hier ist

f(x) = x/(x^3+x^2-x-1) , x>= 2.

PrŸfe nach, dass f'(x) < 0. FŸr die Integration
fŸhre die Partialbruchzerlegung

f(x) = (1/4){1/(x-1) - 1/(x+1) + 2/(x+1)^2}

durch. Entscheide, ob das uneigentliche Integral (1)konvergiert.

Gruss

Hans

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