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Steffen (Euron)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 20:22: | 
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Hallo...
Ich schreibe zur Zeit an einer Facharbeit über kubische Gleichungen und die "Cardanische Formel". Kann mir jemand helfen die Gleichung 2x^3-7x^2-40x+144=O mit Hilfe der Cardanischen Formel zu lösen. Zuerst hatte ich gedacht, der Casus Irreducibilis [(q/2)^2+(p/3)^3<0] müßte hier angewandt werden. Jedoch tritt hier, wenn ich mich nicht verrechtnet habe, der Fall (q/2)^2+(p/3)^3=0 auf. Die Nullstellen konnte ich schon graphisch lösen, sie liegen bei -4,5 und 4.
Über eine ausführliche Rechnung wäre ich sehr dankbar.
Außerdem würde ich noch gerne wissen, wie ich an der Normalform erkennen kann, ob die kubische Gleichung eine Nullstelle, zwei oder drei hat.
Danke schon mal!!!
Euron |
Doris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 21:01: |
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Was hat dies mit linearer Algebra zu tun ? |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 21:52: |
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Dann mal los:
2x3 - 7x2 - 40x + 144 = 0
Die Normalform hat den Faktor 1 vor der 3. Potenz von x, also teilen wir das Ganze durch 2:
x3 - 3,5x2 - 20x + 72 = 0
Nun erzeugen wir die reduzierte Form, in der kein Quadrat von x mehr vorkommt. Dies tun wir mit Hilfe einer Substitution:
x = z - (-3,5)/3, allgemein: x = z - a/3, wobei a der Faktor vor x2 ist.
(z+3,5/3)3 - 3,5(z+3,5/3)2 - 20(z+3,5/3) + 72
= z3 + 3,5z2 + 49z/12 + 343/216 - 3,5z2 - 49z/6 - 343/72 - 20z - 70/3 + 72
= z3 - 289z/12 + 4913/108 = 0
Cardanische Formel:
u = 3Wu(-4913/216 + Wu((4913/216)2 + (-289/36)3))
= 3Wu(-4913/216) = -17/6
v = u, da D=0 (D=Diskriminante)
z1 = u + v = 2*-17/6 = -17/3
z2 = -(u+v)/2 + (u-v)/2*iÖ3 = 17/6
z3 = z2, da D=0, also Doppelwurzel.
Wir substituieren zurück:
x1 = z1 + 3,5/3 = -4,5
x2 = z2 + 3,5/3 = 4
Ich weiß nicht, ob man direkt an der Normalform erkennen kann, wie viele Nullstellen existieren. Dafür ist die Diskriminante (q/2)2 + (p/3)3 da. |
Steffen (Euron)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Februar, 2001 - 16:58: |
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Was willst du überhaupt "DORIS"...wenn du ein wenig Ahnung vom Thema hättest wüßtes du, dass kubische Gleichungen und die Cardanische Formel sehr wohl etwas mit liniearer Algebra zu tun haben!!
Es wäre auch besser mal Fragen zu beantworten, als uns ständig deine eigene Meinung mitzuteilen!!!
MfG
Euron |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 17:02: |
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Hi steffen,
Ich weis ja nicht, ob dir Bruchrechnung Spaß macht, aber es giebt eine Methode die 3,5/3 etc und damit gegf. Rundungsfehler zu vermeiden, mit ein klein wenig tricksen kann man diese Gleichung auch ohne Brüche lösen.
Bei interresse bbitte nochmal melden...
Gruß N. |
Steffen (Euron)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 00:23: |
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Natürlich habe ich Interessan an noch einer anderen Lösung....ich wäre dir sehr dank bar, wenn du mir diese sagen könntest.
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 10:42: |
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Hi Steffen,
Ich nehme Bezug auf den zweiten Teil Deiner Frage
vom 21.02.2001.(21.22 Uhr)
Ein Antwort darauf findest Du im Archiv unter dem
Stichwort "Tertium".
Es handelt sich um einen Beitrag mit dem Titel
"Kriterium zur Lösungsmannigfaltigkeit einer
kubischen Gleichung", den ich kurz vor Weihnachten
als Präsent ins Board stellte.
Das "Tertium non datur" bezieht sich auf die Tatsache,
dass eine kubische Gleichung stets mindestens eine reelle
Lösung hat, andernfalls gäbe es drei komplexe Nullstellen,
was nicht möglich ist.
Die komplexen Nullstellen treten paarweise als
konjugiert komplexe Zahlen auf ;eine dritte komplexe Lösung
hätte keinen Partner.
Singels gibt es unter komplexen Lösungen nicht, sofern die
Koeffizienten der Gleichung reell sind, was selbstredend
der Fall ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 13:38: |
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Hi Steffen,
Was ich jetzt präsentiere ist kein neuer Lösungsalgorithmus, vielmehr ist es Cardano modifiziert.
Also los....
2x³-7x²-40x+144=0
2x³-7x²=40x-144
anstat nun durch 2 dividiert zu haben multipliziere ich die gesammte Gleichung mit 864...
1728x³-6048x²=34560x-124416
jetzt wagen wir den Versuch einer "kubischen Ergänzung"
(s+t)³=s³+3s²t+3st²+t³
s³=1728x³
s=12x
3s²t=-6048x²
432x²*t=-6048x²
432t=-6048
t=-14
d.h.
(12x-14)³=1728x³-6048x²+7056x-2744
(12x-14)³=(34560+7056)*x-124416-2744
(12x-14)³=41616x-127160
jetzt ein schmutziger mathematischer Trick...
(12x-14)³=3468*12x-127160
Substitution
y=12x-14
y³=3468*(y+14)-127160
y³=3468*y+48552-127160
y³=3468*y-78608
womit wir bei der reduzierten kubischen Gleichung wären...
ab hier geht es normal weiter...
lösst man diese reduzierte kubische Gleichung erhält man als lösungen:
y1=-68
y2=34
y3=34
Rücksubstitution:
-68=12x-14
-54=12x
-54/12=-4,5=x
34=12x-14
48=12x
4=x
=====================================0
ich gebe zu, es ist ein bischen mehr Rechenaufwand, dafür hat man aber mit keinen Brüchen zu kämpfen und vermeidet dadurch Rundungsfehler.
Gruß N. |
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