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Beitrag |
    
Achim
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 10:09: | 
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Hi,
Für eine Folge mit Anfangsgliedern y0=1; y1=3; y2=4 gelte
y(t+3) + y(t+1) = 2*(y(t+2) + y(t)) -3
a) Folgeglieder y3, y4, y5 sukzessiv berechnen.
b) allg. Folgeglied yt derjenigen speziellen Lösung, die den Anfangsbedingungen genügt?
c) mit Lsg. aus b) y5 und y10 bestimmen
Bitte mit Lösungsweg! |
braveheart
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 02:04: |
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erst:t=0 einsetzen:
y(4)+y(1)=2*(y(2)+y(0))-3
damit ergibt sich:
y(4)+3=2*(4+2)-3
y(4)=6 |
achim
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 08:44: |
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Ich komme da aber auf:
y(4)= 4, da
y(4)=2*(4+1)-3-3 ???
kannst du mir denn b) beantworten?? |
yawa enog
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Februar, 2001 - 03:31: |
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Für eine Folge mit Anfangsgliedern y0=1; y1=3; y2=4 gelte
y(t+3) + y(t+1) = 2*(y(t+2) + y(t)) -3
t=0 einsetzen ergibt:
y3+y1=2*(y2+y0)-3
y3+3=2*(1+4)-3
y3=10-6=4
jetzt t=1 einsetzen ergibt:
y4=2*(y3+y1)-3-y2
=2*(4+3)-3-4
=7
mit t=2
y5=2*(y4+y2)-3-y3
=2*(7+4)-3-4
=15
y(t) habe die form a0+a1*t+a2*t*t+a3*t^3+a4*t^4
a0 =1
a0+a1+a2+a3+a4 =3
a0+2*a1+4*a2+8*a3+16*a4=4
a0+3*a1+9*a2+27*a3+81*a4=4
a0+4*a1+16*a2+64*a3+256*a4=7
ergibt die folgende koeff.matrix
1 0 0 0 0 mit der r.S. 1,3,4,4,7)
1 1 1 1 1
1 2 4 8 16
1 3 9 27 81
1 4 16 64 256
ergibt
y(t)=1+1.5*t+1.33333*t^2-t^3+0.1666666*t^4
y(5)=21 weicht ab
wenn y(5)=15 erfüllt sein soll habe ich die koeff.matrix
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
1 2 4 8 16 32
1 3 9 27 81 243
1 4 16 64 256 1024
1 5 25 125 625 3125
mit der dazugehörigen re.s.1,3,4,4,7,15)
dann ergibt sich:
y(t)=1+0.3*t+3.833333*t^2-2.75*t^3+0.66666*t^4-0.5*t^5
falls euer lehrer was anderes als y(t) angibt schreib mir direkt (benutzernamen anklicken!) |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Februar, 2001 - 08:28: |
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Hallo :
Die Gleichung lautet nach Umordnen :
(1) y(t+3)-2y(t+2)+y(t+1)-2y(t)+3 = 0.
Das ist eine inhomogene lineare Differenzengleichung 3. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.Eine spezielle Loesung ist die konstante Folge y(t) = 3/2. Man bestimmt sodann die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung
(2) y(t+3)-2y(t+1)+y(t+1)-2y(t) = 0.
Die charakteristische Gleichung lautet
(3) r^3-2r^2+r-2 = 0 <==> (r-2)(r^2+1) = 0
Die Nullstellen von (3) sind 2 , i , -i, also bilden
{2^t} , {cos(Pi*t/2)} , {sin(Pi*t/2)}
ein Fundamentalsystem von Loesungen von (2).
Nach der allgemeinen Theorie heisst daher die allgemeine Loesung von (1) :
y(t) = A*2^t + B*cos(Pi*t/2) + C*sin(Pi*t/2) + 3/2
Die Koeffizienten A,B,C ergeben sich aus den
Anfangsbedingungen.
Gruss
Hans |
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