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Beitrag |
    
Lars
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:14: | 
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Wie löse ich dieses unbestimmte Integral |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 19:54: |
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Hi Lars!
Folgender Vorschlag:
Schreib für sinhx=[e^x -e^(-x)]/2
Und dann benutze die Substitution u=e^(2x). Man muss den Ausdruck vorher und nachher noch ein bisschen umschreiben, aber das müsste zum Ziel führen.
Falls Du nicht weiterkommst, frag nochmal nach!
Ciao
Cosine |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 19:59: |
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Substitution : e^x = t ==> dx = dt/t.
Das fŸhrt auf das Integral
int(t^3/(t^1-1)^2))dt.
Der Integrand ist nach Partialbruchzerlegung :
(t-1)^(-2)+ 2(t_1)^(-1) - (t+1)^(-2) + 2(t+1)^(-1)
womit die Sache gelaufen sein dŸrfte.
Happy dreams
Hans |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:54: |
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Hallo Hans,
das Ergebnis Deiner Substitution verstehe ich nicht. Wenn wir den Faktor 4 vom sinh weglassen, bekommen wir doch:
(t2+1) / (t-1/t)2 * dt/t = t(t2+1)/(t2-1)2 dt |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:59: |
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Hi allerseits,
Stefan ist auf dem richtigen Weg !
Q(t) = (t^3 + t) / (t^2 - 1)^2 wird durch den folgenden
Ansatz in Partialbrüche zerlegt:
Q = a / ( t +1 ) ^ 2 + b / ( t +1 ) + c / ( t - 1) ^ 2 + d / (t -1) .
Bringt man diese Summe von Brüchen wieder auf einen Nenner
und vollzieht den Koeffizientenvergleich,
so erhält man das folgende lineare Gleichungssystem
in a , b , c, d:
b + d = 1
a - b + c +d = 0
- 2 a - b + 2 c - d = 1
a + b + c - d = 0
mit den Lösungen:
a = - ½ , b = ½ , c = ½ , d = ½
Setzt man dies ein, berücksichtigt den weggelassenen Faktor 4,
integriert und macht die Substitution rückgängig ,so erhält man das
(hoffentlich richtige ) Schlussresultat:
2 / (e^x +1) + 2 * ln (e^x+1) -2 / (e^x -1) + 2* ln (e^x - 1) + constans.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Lars
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 06:31: |
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Vielen Dank euch allen! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 07:30: |
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Sorry, habe +1 im Zaehler Ÿberlesen ! |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 00:23: |
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habe eben noch einen kürzeren Weg gefunden. Machmal hilft es genau hinzusehen um eine logarithmische Integration zu erkennen. Z.B. kann man ja sofort ex/(ex+1) zu Log(ex+1) integrieren.
(e2x+1) / sinh2x = 4(e2x+1) / (ex-e-x)2 = 4e2x(e2x+1) / (e2x-1)2
den Zähler formen wir um zu 8e2x + 4e2x(e2x-1) und erhalten nach aufspalten
(e2x+1) / sinh2x = 8e2x / (e2x-1)2 + 4e2x / (e2x-1),
was sich sofort zu
-4 / (e2x-1) + 2Log(e2x-1) integriert,
was mit dem Ergebis von megamath übereinstimmt. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 05:02: |
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Wenn ich auch noch mal meinen Senf dazu geben darf
(hoffentlich habe ich jetzt die Aufgabe richtig
gelesen ):
Im Zaehler e^x ausklammern, e^x = cosh(x)+sinh(x)
schreiben, cosh^2(x)=1+sinh^2(x) benutzen, dann lautet der Integrand
2{1 + 1/sinh^2(x) + cosh(x)/sinh(x)}
= 2*(d/dx){x - coth(x) + ln|sinh(x)|}.
Gruss
Hans |
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