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Beitrag |
    
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 16:27: | 
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Wie kann ich rechnerisch ermitteln, daß f(x) nicht monoton ist ?
2e^x
------ +1 =f(x)
1-e^x
für x e R\[0]
für f(0)=2 |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 18:14: |
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Hallo Sandra,
Ich glaube das kann man nicht beweisen, weil es nämlich nicht stimmt. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 19:52: |
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Hallo Sandra,
Da hab ich doch etwas zu schnell geantwortet.
Die Funktion ist nicht monoton, weil
z.B.: f(-1) > f(1)........ dies wäre "fallend"
aber
f(1) < f(2). ............... dies wäre "steigend"
==============================
Monotonie ist falls für alle x1 < x2 gilt: f(x1) =< f(x2) oder f(x1) >= f(x2) |
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 19:58: |
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Warum ist sie denn monoton? Sie verläuft doch nach +unendlich (für x nahe -0),springt dann nach 2 (für x=0) und von dort nach -unendlich (für x nahe +0). Oder ist sie vielleicht deshalb monoton, weil sie halt zu x=2 springt? |
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 19:59: |
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Danke für die neue Antwort.Ich habe sie leider zu spät gesehen. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 20:08: |
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Jetzt verstehe ich gar nichts mehr. Die Funktion für x<0 ist doch monoton steigend, für x>0 ist die Funktion auch monoton steigend. Das Problem, das ich jetzt habe, ist die Sprungstelle bei x=0. Hebt diese Sprungstelle die Monotonie auf ? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 20:38: |
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Halo sandra,
Definitionsbereich der Funktion ist (ganz) R.
Die Funktion ist monoton (wachsend) auf dem offenen Intervall (-oo; 0)
und auf dem offenen Intervall (0; +oo).
Insgesamt, also auf dem Intervall R, ist sie aber nicht monoton wachsend, weil nicht für alle x1<x2 auch f(x1)<= f(x2) gilt. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 21:04: |
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Thanks. Ich habs verstanden. Vielen Dank und gute Nacht. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 11:44: |
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Die Funktion hat bei x=0 eine Polstelle, deshalb kann sie nicht monoton sein. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:21: |
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Hallo Stefan,
Die Funktion hat bei x=0 keine Polstelle. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:30: |
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Hallo Fern,
ich habe die Funktion so gelesen:
f(x) = 1 + 2ex/(1-ex)
und hier verschwindet bei x=0 der Nenner. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:38: |
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Hallo Stefan,
Die Funktion lautet:
f(x)= 1 + 2ex/(1-ex für x aus R{0}
f(x) = 2 für x=0
========================= |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:41: |
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Hier hat mit die Formatierung einen kleinen Streich gespielt:
in der ersten Zeile heißt es: x aus R\{0}
also x Element aus R außer 0. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 22:18: |
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So habe ich das nicht gemeint.
Eine meromorphe, auf R nichtmonotone Funktion kann durch Abänderung eines einzigen Funktionswertes nicht monoton gemacht werden, deshalb hatte ich diese nicht weiter beachtet. Der eigentliche Grund für das nicht-monotone Verhalten liegt in der Polstelle. Deren Wirkung strahlt in die Umgebung mit aus. Dazu gibt es eine nette Geschichte:
Eine hübsche meromorphe Funktion geht elegant spazieren und weiß ihre Polstelle gut durch einen Hut zu kaschieren. Schon nach kurzer Zeit trifft sie auf einen Kurvenintegrator.
Dieser hat schon aus der Ferne ihr Problem erkannt und fragt sie ob er ihr mal mit seinem Abtaster um den Hut fahren darf. Die Funktion ist einverstanden und genießt das Umfahren des Integrators um ihren Hut entlang einer geschlossenen Kurve. Nach kurzer Berechnung sagt er: warum versteckst Du eigentlich die ganze Zeit Deinen hübschen Pol 1. Ordnung unter dem Hut?
Die Funktion ist sichtlich verlegen und fragt: wie bist Du darauf gekommen, Du hast doch nur die Werte auf dem Rand der Kurve angeguckt? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:03: |
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Hallo Stefan,
Wir sind uns ja einig, dass die Funktion nicht monoton ist.
Deine amüsante Geschichte hat vielleicht den Greenschen Integralsatz inspiriert (oder umgekehrt).
Gruß, Fern |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 00:32: |
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Hallo Fern,
ich dachte eigentlich an den Cauchyschen Integralsatz:
Die Integration einer Funktion entlang einer geschlossenen Kurve, die im inneren der Kurve holomorph ist, ergibt 0.
Und an den Residuensatz, wo man dann den Wert des Integrals mit Polstellen im Inneren der Kurve ausrechnen kann.
Den Greenschen Integralsatz habe ich leider nicht verstanden. |
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