| Autor |
Beitrag |
    
Kati (Sonne123)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 11:13: | 
|
Hallo,
ich brauch Eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
Gegeben sei die c²-Funktion f:R²-->R mit
f(x,y)=3x²y-6y³
a) Untersuchen Sie f auf Homogenität? (Wie geht das? Rechenweg?)
b) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f.
c) Bestimmen Sie alle lokalen Extremalstellen von f.
Ich habe hier das Problem, dass ich einfach nicht den Anfang finde: Von welchen Formeln muss ich ausgehen und wie gehe ich grundsätzlich bei diesen Berechnungen vor???
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Kati |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 15:27: |
|
Hallo :
a) f(x,y) heisst homogen vom Grad k, wenn fŸr alle
x,y,t gilt : f(tx,ty) = t^k*f(x,y). Entscheide
selbst !
b) (x_0,y_0) ist stationaere Stelle, wenn
f_x(x_0,y_0) = f_y(x_0,y_0) = 0. Das sollte
kein Problem sein.
c) Um zu entscheiden, ob an einer stationaeren
Stelle (x_0,y_0) ein lokales Extremum vorliegt,
muss man die quadratische Form
Q(u,v):= A*u^2 + 2B*uv + C*v^2
mit A:= f_xx(x_0,y_0), B:= f_xy(x_0,y_0),
C:= f_yy(x_0,y_0) untersuchen. Ist Q positiv
definit, so haben wir ein rel. Minimum, ist Q
negativ definit ein rel.Maximum. Ist Q
indefinit (d.h. nimmt Q Werte beiderlei Vor-
zeichens an), so ist bei (x_0,y_0) kein
rel. Extremum. Auch das ist hier einfach zu
entscheiden.
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 09:03: |
|
Man koennte noch hinzufŸgen, dass bei der einzigen
stationaeren Stelle (0,0) (die hast Du inzwischen sicher selbst herausgefunden) ein sog. Sattelpunkt
vorliegt, d.h. f(x,y) nimmt in der Umgebung von (0,0) sowohl Werte < f(0,0)=0 als auch Werte > 0 an. Die Schnittmenge der Flaeche z=f(x,y) mit der Ebene x = 0 ist ja offenbar die kubische Parabel
z = - 6y^3. |
|
