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Beitrag |
    
Berti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 10:19: | 
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Problem mit Dgln. 4ter Ordnung.
(Yt) t element No sei eine Folge....
y (t +4) bedeutet, daß t+4 tiefer gestellt ist, also y bei t+4!!!!
Folgende Aufgabe:
2Y(t+4)- 6Y(t+2) - 8Y(t) + t -1 = 0
Bestimme die allgemeine Lsg.! (Hinweis: gt= at+b ;t element No; a,b element R ist ein sinnvoller Ansatz für eine spezielle Lsg.)
Tja, für mich einfach gar nicht sinnvoll!!!!
Vielen Dank!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 14:51: |
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hallo :
Es handelt sich um eine inhomogene Differenzengleichung 4.Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die zugehoerige Theorie besagt:
Die allgemeine Loesung der inhomogenen Gl.
(1) 2Y(t+4) -6Y(t+2) - 8Y(t) = 1 - t
hat die Form
(2) Y(t) = u(t) + v(t),
wobei u(t) die allgemeine Loesung der homogenen
Gleichung
(3) 2u(t+4) - 6u(t+2) - 8u(t) = 0
und v(t) eine spezielle ("partikulaere") Loesung
von (1) ist. Nach der gegebenen Anleitung soll man
Y(t)=v(t) = at+b in (1) einsetzen und a,b bestimmen, was elementar ist. Die Theorie zu (3)
besagt : Man betrachte die sog. charakteristische
Gleichung
2r^4 - 6r^2 - 8 = 0 <==> r^4 - 3r^2 - 4 = 0
Diese hat die Nullstellen
r_1 = 2 , r_2 = - 2 , r_3 = i , r_4 = - i
Die Potenzen 2^t, (-2)^t, i^t =e^(Pi*i*t/2),
(-i)^t = e^(Pi*i*t/2) sind 4 linear unabhaengige
Fundamentalloesungen von (3), d.h. die Loesungsmenge ist die Menge aller aus ihnen gebildeten Linearkombinationen . WŸnscht man im
Reellen zu bleiben, so kann man die beiden konjugiert komplexen Loesungen durch ihre Real-
bezw. Imaginaerteile cos(Pi*t/2), sin(Pi*t/2)
ersetzen, sodass also schliesslich
u(t) = A*2^t+B*(-2)^t+C*cos(Pi*t/2)+D*sin(Pi*t/2)
herauskommt. Ich wŸrde das mal durch Einsetzen
nachprŸfen.
Gruss
Hans |
Berti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 15:12: |
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Überragend!!!
Danke |
Berti
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 09:21: |
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So, ich habe dennoch ein Problem mit v(t).
V(t)=-1t+1 ,
dann ist Y(t)= u(t)+ v(t), die allgemeine Lsg der inhomogenen Gleichung, oder???
also Y(t)= u(t)-t+1 ????????????????
Ich habe nämlich deshalb ein Problem mit der Aufgabe, weil ich 3 Lsgsformen für inhomogen Gleichungen der 2. Ordnung kenne )spezielle Lsgen):
y(t+2)+ a1*y(t+1)+a0*y(t) = b
Y(t)= b/(1+a1+a0) ,falls 1+a1+a0 ungleich 0
Y(t)= (-b/(a1+2a0)*t , falls a1+2a0 ungleich 0 und 1+a1+a0= 0
Y(t)= t^2*b/2 , falls 1+a1+a0=0 und a1+2a0=0
kann ich damit bei höherer Ordnung nichts anfangen??? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 16:41: |
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Wenn man mit dem gegebenen Ansatz
Y(t) = at + b
in die inhomogene Gleichung hineingeht und ordnet, so erhaelt man
(12a - 1)t + (4a + 12b + 1) = 0.
Die Gleichung ist fŸr alle t erfŸllt, wenn beide
Klammern verschwinden, also fŸr a=1/12 , b= - 1/9
Somit ist
v(t) = (1/12)t - 1/9
die gesuchte spezielle Loesung, nicht aber
v(t) = - t + 1 (Probe !)
Deine allgemeinen Formeln für Gleichungen 2.Ordnung kann
man natürlich nicht tel quel übertragen, man muss sie schon
entsprechend modifizieren. Ich glaube nicht, dass sich die
Mühe lohnt, man vergisst das bald wieder. Lieber wie oben
das Problem direkt angehen.
Alles klar ? |
berti
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 17:05: |
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Ich glaub ich bin bekloppt... habe gerade wieder was anderes für die Uni gelernt....
wie kommst du auf die Klammergleichung
(12a - 1)t + (4a + 12b + 1) = 0.
Sorry, aber ich sehe nur noch Zahlen!!!
und wenn du noch mal so nett bist:
Nächstes Problem:
I. y(t+3)-y(t+2)+ 1/4y(t+1)- 1/4 y(t) = 20
allg. Lsg bestimmen! mit Hinweis Nullstelle bei 1 und zur Lösung der inhomogenen Gleichung den Ansatz v(t)= at
II. AWA y(0)=0; y(1)=10; y(2)=20
zu I.allgemeine Lsg.
y= k1+ k2(1/2)^t*cos(t*pi/2)+ k3(1/2)^t*sin(t*pi/2)+16t
Wie kommt man auf die Werte k1= -48/5 , k2= 48/5 , k3= 36/5 ???????????
Danke schon mal im voraus!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:48: |
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Wie gesagt : Y(t) = at+b => Y(t+4)= at+4a+b,
Y(t+2)=at+2a+b , dies in die Gl. einsetzen,
zusammenfassen der Terme mit und ohne t !
(Wie sagte doch Sherlock Holmes : Elementary, my dear Watson !)
Ad I. Char. Gl.: 4 r^3 - 4 r^2 + r - 1 = 0
<==> (r-1)(4r^2 + 1) = 0
==>r_1 = 1 , r_2 = i/2 , r_3 = - i/2
Daraus in bekannter Weise die allgemeine Loesung.
Die Koeffizienten erhaelt man, indem man die
gegebenen Anfangsbedingungen berŸcksichtigt
(lineares Gleichungssystem !)
Have fun
Hans |
berti
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 09:24: |
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y= k1+ k2(1/2)^t*cos(t*pi/2)+ k3(1/2)^t*sin(t*pi/2)+16t ist die allgemeine Lösung. Das ist klar! Komme ich sogar drauf.
Jetzt habe ich aber das Problem mit den Anfangsbedingungen:
Mein Buch gibt mir folgende Lsg:
aus y(0) = 0
wird y(0)= k1 +k2=0 ;das ist nachvollziehbar, weil cos 0=1 ist und 1/2^0 ebenfalls!!
aber bei y(1)und y(2) ist mein Problem folgendes:
in meinem Buch steht dort die Lsg:
Y(1)= k1+ 1/2 k3 +16 = 10
Y(2)= k1- 1/4k2 +32=20
wieso wird bei y(1) aus k2(1/2)^1*cos(pi/2*1) k2=0 !!!
ich erhalte da 0,5 k2 !!
und k3 wird bei k3(1/2)^1*sin(1*pi/2)zu 1/3 k3!!
(lt.Buch)
ich komme da auf: sin von pi/2 = 0,0274121 und 1/2^1= 0,5 also insgesamt auf 0,0137!!
wieso 1/4*k3!
das gleiche Problem bei Y(2)!!
ist da ein Eingabefehler im Taschenrechner oder ein Gesetz das ich mal wieder nicht kenne!?!?! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 14:49: |
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Y(0)=0 <==> k_1 + k_2 = 0
Y(1)=10 <==> k_1 + (1/2)k_3 = -6
Y(2)=20 <==> k_1 - (1/4)k_2 = -12
Aufloesung ergibt genau die angegebenen Werte. |
berti
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 15:30: |
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Ja, aber ich komme ja nicht auf die Werte:
wieso wird bei y(1) aus k2(1/2)^1*cos(pi/2*1) k2=0 !!!
ich erhalte da 0,5 k2 !!
und du kommst auch auf 0,5k_3! wo ist k_2 geblieben????????
und k3 wird bei k3(1/2)^1*sin(1*pi/2)zu 1/3 k3!!
und wo ist das jetzt??
ich hätte gerne von dir die Erklärung was aus den cos und sin gleichungen bei y(1) und y(2) wird!!
ich raffe es nicht, wie man da auf k_2 und k_3 kommt, ich habe da nämlich, s.o., andere ergebnisse raus!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 17:35: |
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cos(Pi/2) = 0 ! |
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