| Autor |
Beitrag |
    
David
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:45: | 
|
Beweisen Sie folgenden Satz:
(PRODUKT von (n=0) bis ¥ von ( 1 - x²/(2n+1)²)) = cos(p/2)
Wie macht man sowas???
Bin dankbar für jeden Hinweis!!!
Dankeschön!!! |
David
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:47: |
|
Oops... Das soll natürlich nicht cos(p/2), sondern
cos(p/2 * x)
heißen!
Sorry |
David
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 19:53: |
|
Hat keiner eine Idee??? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 17:02: |
|
Warte mal bis morgen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 17:19: |
|
Hi David,
Es fehlt sicher nicht am guten Willen und wahrscheinlich
auch nicht am Können bei uns Aufgabenlösern, wenn noch
niemand auf Deine Frage eingetreten ist.
Nach meiner Meinung kann eine solche Frage nicht Inhalt einer
Aufgabe in gewöhnlichen Uebungsstunden sein, sondern
solche Fragen müssten an und für sich in der Vorlesung
behandelt werden.
Wir wissen auch nicht , über welche
Vorkenntnisse Du verfügst und welchen Mittel wir
bei einer allfälligen Lösung einsetzen dürfen.
Die Aufgabe selbst kann, allerdings umständlich,mit relativ
elementaren Mitteln gelöst werden.
Der zeitliche Aufwand ,welche eine Darstellung einer solchen
Lösung beansprucht, ist mir jedoch zu gross.
Der Problemkreis wird in der Funktionentheorie behandelt
und zwar im Kapitel mit der Ueberschrift
"Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen"
Als Beispiel zur Theorie wird meistens die Aufgabe gelöst,
eine ganze Funktion zu bestimmen ,welche die einfache Nullstellen
0 , +1 , -1 , +2 , - 2 , + 3 ,- 3 .....besitzt.
Als Resultat erhält man mit dem entsprechenden Verfahren
die Produktdarstellung der Funktion sin ( Pi * z ), nämlich:
sin (Pi*z) = Pi * z * product ( 1 - z ^ 2 / n ^ 2 ) ,
n von 1 bis unendlich.
Es ist dann nicht mehr schwierig, auch cos (z) als
ein unendliches Produkt darzustellen und damit Deine Aufgabe
zu lösen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:24: |
|
Es laeuft wohl auf den Weierstrass'schen Produktsatz hinaus.
Das Produkt f(z) auf der linken Seite hat
Nullstellen 1. Ordnung bei z = +-(2k+1), und
sonst keine, ebenso wie die Funktion cos(Pi*z/2).
Nach dem genannten Satz ist dann
f(z) = e^g(z)*cos(Pi*z/2)
wo g(z) eine ganze (d.h. in C holomorphe) Funktion
ist. Man muss noch zeigen, dass g(z) = 0 ist.
Komme vielleicht morgen dazu.
Hans |
David
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:55: |
|
Vielen Dank schonmal, Hans und megamath!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 22:38: |
|
Hi David,
Es bleibt mir noch ein wenig Zeit, eine Teillösung
Deiner Aufgabe in Angriff zu nehmen:
die Ueberbrückung von der Darstellung von sin x als
unendliches Produkt zur entsprechenden
Darstellung von cos x.
Ausgangspunkt ist die Darstellung von sin x als
Grenzwert des Produktes
P = x (1-x / Pi)(1- x / 2Pi)....(1-x / n Pi)(1+x / Pi)(1+x / 2Pi).. (1+x / nPi)
für n strebt gegen unendlich.
Gemäss der Beziehung cos x = sin (Pi/2 - x) ersetzen wir im
Term für P x durch ½ * Pi - x und erhalten aus P neu P°
P° =( Pi / 2 - x)(½ +x/Pi)(¾ +x/2Pi)...( (2n-1) / 2n + x / n Pi )
mal( 3/2 -x/Pi)(5/4-x/2Pi)... .( (2n+1) /2n - x / n PI )
Nun ziehen wir aus jeder Klammer den ersten Summanden heraus
und vereinigen diese zum Produkt F; dieses Produkt sieht so aus:
F= Pi/2*1/2*3/2*3/4*5/4 .....[(2n-1)/2n][(2n+1)/2n)] , damit entsteht:
P° = F* (1-2x/Pi)(1+2x/Pi)(1+2x/3Pi)...........(1 + 2x / (2n-1)Pi )
mal((1-2x/3Pi)(1-2x/5Pi)............(1 - 2x / (2n+1)Pi)
Der Grenzwert des Faktors F für n strebt gegen unendlich ist
"bekanntlich" 1 ,
Die restlichen Faktoren fassen wir so zusammen:
(1 - 4 x^2 / Pi ^ 2) (1-4x^2 / 9 Pi^2)......
...........(1 - 4x^2) / [(2n -1)^2 *Pi^2] (1 - 2x / ( 2n +1 ) Pi)
Der letzte Faktor tanzt etwas aus der Reihe ( letzter Tango!)
Er kann aber keinen Schaden anrichten :sein Grenzwert ist 1.
Schluss:
Wir erhalten das unendliche Produkt für den Kosinus:
cos x = (1- 4x^2/Pi^2)(1- 4x^2 / 9Pi^2)(1- 4x^2 / 25Pi^2)............
Wir erkennen daraus von weitem die Nullstellen von cos x !
Wenn Du noch die Transformation x = ½ * Pi * t
ausführst, bekommst Du Deine Form der Darstellung des
unendlichen Produktes.
Wie gefallen Dir solche Rechnungen ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 07:23: |
|
Hi David,
Zum Abschluss skizziere ich Dir die übliche Herleitung für
die Entwicklung von sin z in ein unendliches Produkt
Die Aufgabe lautet: es ist eine ganze Funktion zu bestimmen,
welche die einfachen Nullstellen
0 , +1 , -1 , +2 , - 2 , + 3 ,- 3 .....besitzt.
Mit einem Verfahren, das im Kern von Karl Weierstrass (1815-1897)
Stammt, erhält man die Produktdarstellung der Funktion
sin ( Pi * z ), nämlich:
sin (Pi*z) = Pi * z * product ( 1 - z ^ 2 / n ^ 2 ) ,
n von 1 bis unendlich.
(An der Bezeichnung der unabhängigen Variablen mit z
merkt man sofort, dass wir im Gebiet der Funktionentheorie
operieren werden)
Als bekannt setzen wir die folgende Beziehung voraus:
Pi * ctg (Pi*z) = 1 / z + sum [(1/(z-n) + 1/n)], ...........................................(1)
der Summationsindex n läuft von minus bis plus unendlich
OHNE die Null
Herleitung
Eine der Funktionen, welche die verlangte Nullstellenbedingung
erfüllt, wird dargestellt durch
P(z) = z * product [(1-z/n)* e^(z/n)] , wiederum n von minus bis plus
unendlich ohne null.
Die allgemeine Form dieser Funktion ist also:
e ^ H(z) * P(z), so dass bei einer geeigneten Wahl der ganzen
Funktion H(z) gilt:
sin (Pi*z) = e ^ H(z) * P(z)
Bestimmung von H(z):
Wir ermitteln die logarithmische Ableitung der letzten Gleichung
(logarithmieren und dann nach z ableiten),
und wir bekommen als Resultat dieser Prozedur:
Pi * cos(Pi*z) / sin(Pi*z) =
= H ' (z) + 1/z + sum [1/(z-n) + 1/n)] ;
der Summationsindex läuft wie oben erwähnt !
Vergleicht man dies mit der Formel (1), so folgt sofort:
H ' (z) = 0, d.h. H(z) ist eine Konstante , ebenso e ^ H(z)
und zwar gilt:
e ^ H(z) = Pi , weil der Grenzwert von sin (Pi * z ) / z
für z gegen null bekanntlich Pi ist.
Somit gilt:
sin(Pi*z) = Pi*z * product [(1-z/n) *e^(z/n)] ,
n durchläuft dabei das bekannte Pensum !
Fasst man die zu entgegengesetzt gleichen n-Werten gehörigen
Faktoren zusammen,
so erhält man das eingangs erwähnte Schlussresultat.
Hoffentlich kannst Du von diesen Ausführungen
ein wenig profitieren !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath, |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 10:50: |
|
Hallo :
Man darf sich wohl auf das bekannte sin - Produkt
(1) sin(Pi*z) = Pi*z*prod[n=1,oo]{1 - (z/n)^2}
berufen, denn das ist (wie megamath zutreffend
feststellt, Vorlesungsstoff: schliesslich
brauchte es einen L.Euler um darauf zu kommen).
Mit (1) ist es einfach, auf das entsprechende
cos - Produkt zu kommen (ich rechne nicht alles
einzeln vor, will schliesslich kein Spielverderber
sein):
2*cos(Pi*x/2)*sin(Pi*x/2) = sin(Pi*x).
Rechts (1) einsetzen, dann (erlaubterweise)
Faktoren mit geradem n einerseits, mit ungeradem n
andererseits zu je einem unendlichen Produkt
zusammenfassen. In einem der beiden erkennt man
nach erneutem Blick auf (1) sin(Pi*x/2) wieder.
Have fun
Hans |
David
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 16:36: |
|
Vielen, vielen Dank Euch Beiden! |
|
