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Beitrag |
    
Heiko (Heiko)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:59: | 
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Hallo!
Ich schreibe in 3 Tagen eine LA1-Klausur und habe noch Probleme mit Eigenwerten, Eigenvektoren, dem charakteristischen Polynom und der damit verbundenen Diagonalisierbarkeit.
_Ich_ dachte, man macht das so:
1. Man bestimmt das charakteristische Polynom, d.h. aus det(A-lambda*E)=0 folgt, dass (A-lambda*E)x=0 nichttriviale Lösungen besitzt (oder zumindest eine).
Nun errechnet man also, wann das char. Polynom=0 ist. Die dafür nötigen lambdas sind dann die Eigenwerte.
2. Man setzt nun einen Eigenwert in das Gleichungssystem (A-lambda*E)x=0 ein. Dieses ist von der Form Matrix*Vektor=0. Man löst das lineare Gleichungssystem und erhält einen Vektor, den Eigenvektor zu dem zuvor eingesetzten Eigenwert lambda.
Jetzt meine Fragen:
(a) Darf man bei der Lösung des lin. Gleichungssystems die elementaren Spaltenstufentransformationen verwenden, sprich Zeilen/Spalten vertauschen und das vielfache einer Zeile/Spalte zu der anderen hinzuaddieren, ohne das sich etwas ändert.
(b) Wie genau muß ich das lin. Gleichungssystem lösen??? Muß ich gucken, wann die einzelnen Zeilen des Systems =0 sind und das dann als Vektor schreiben?
(c) Gut, ich habe jetzt einen Eigenvektor. Kann ich irgendwie überprüfen, ob das Ding _wirklich_ mein EV ist, oder ob ich mich wieder verrechnet habe?
(d) Um eine Matrix zu diagonalisieren, soll man D=CAC-1 anwenden, wobei A die alte Matrix, D die neue diagonalisierte Matrix ist und C eine Matrix, die aus EV besteht. Wie soll ich aber eine Matrix C erstellen, wenn ich nur einen EW und folglich auch nur eine EV habe??? Wenn ich eine 4x4-Matrix mit einem Eigenvektor allein multipliziere, komme ich doch nur auf einen Vektor, und nicht auf eine diagonalisierte Matrix...
Vielen Dank im Vorraus
Heiko |
Storch
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 10:22: |
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Ich hoffe, ich erklär Dir jetzt nichts Falsches, aber ich hab das so gelernt:
a) Zeilenumformungen darfst Du machen, das ändert nichts, aber Spaltenumformungen gehen nicht, weil Du dann ja plötzlich z.B. x1 und x2 addieren würdest, die Du ja suchst.
b) Am einfachsten ist es das Gleichungssystem eben mit Zeilenumformungen auf Dreiecksform zu bringen, so dass Du über oder unter der Diagonalen nur Nuller stehen hast, und dann die Werte für x1 bis xn, je nachdem wie groß das System ist, einfach abzulesen.
c) Hier liegt jetzt mein Hauptunsicherheitsfaktor, aber ich glaube, wenn Du die Matrix mit dem gefundenen Eigenvektor multiplizierst, muss ein skalares Vielfaches von diesem Vektor herauskommen.
d) Die Anzahl der Eigenvektoren ist immer gleich der Dimension des Raumes, in dem Du Dich befindest (gilt nur wenn die Matrix diagonalisierbar ist). Wenn Du nur einen Eigenwert hast, der Raum aber eine Dimension n (größer als 1) hat, dann muss Dein charakteristisches Polynom die Form (X-l)n haben. Um sämtliche Eigenvektoren zu finden, musst Du die Gleichungssysteme (A-l*E)kx=0 lösen, wobei k alle Werte von 1 bis n durchläuft. Wenn Du diese gefundenen Vektoren nun einfach nebeneinanderschreibt, erhältst Du die gesuchte Matrix C (ich glaube das Gleichungssystem muss heißen D=C-1AC!). C-1 ist dann einfach das Inverse von C.
Ich hoffe, es korrigiert mich irgendjemand, falls ich mich irgendwo doch geirrt haben sollte!
Auf jeden Fall viel Erfolg bei der Klausur! |
Heiko (Heiko)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 10:07: |
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Moin.
Danke für Deine schnell Antwort!
Besonders das mit dem Vertauschen von Zeilen war wohl ein echter Denkfehler...
Heiko |
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