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Beitrag |
    
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 19:30: | 
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Hi,
Welchen Wert besitzt der Kettenbruch
z = 1/(1+ 1/(2+ 1/(3+ 1/(4+...
Gibt es einen Ausdruck dafür?
Gruß,
Kay |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 21:25: |
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Der Wert liegt irgendwo bei 0,69777466, aber ich habe keinen Schimmer, was diese Zahl bedeutet! |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 00:24: |
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Hallo,
der Wert lautet auf 100 Stellen
0.697774657964007982006790592551752599486658262998021232368630082816530852764641112996965654182676569
Das ist schon ein interessanter Wert.
Nun fahren wir ein schweres Geschütz auf: Plouffe's Inverter
http://www.lacim.uqam.ca/pi
Der versucht zu einer vorgelegten reellen Zahl im Dezimalsystem einen geschlossenen Wert zu ermitteln. Er arbeitet zwar "nur" mit 16 Stellen, aber das reicht meistens. Hier liefert er I1(2) / I0(2).
Dies stimmt numerisch genau mit den obigen 100 Stellen überein. In(z) ist die modifizierte Besselfunktion der Ordnung n. Das ist eine nichtelementare Funktion.
Nun fehlt nur noch ein Beweis, bisher ist es nur eine Vermutung. Die Besselfunktionen genügen gewissen Rekursionsgleichungen die sich in Kettenbrüche verwandeln lassen. So gewinnt man z.B. den quasi-periodischen Kettenbruch von e.
Habe im Moment aber keine Zeit das durchzuführen. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 20:59: |
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Hallo
Wie ist denn der Wert eines Kettenbruches definiert? Betrachtet man dafür die Folge, bei der man nach endlich vielen Schritten aufhört, also hier S(n)=1/(1+1/(2+1/(.../(n)...))), und berechnet dann ihren Grenzwert?
vielen Dank im voraus
SpockGeiger |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 12:54: |
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Hallo,
es ist genauso wie bei Reihen. Man unterscheidet endliche und unendliche Kettenbrüche; und solche die von einer Variablen abhängen.
Kn = 1/(1+1/(2+1/(3+...1/n)))
Der Kettenbruch ist Konvergent wenn die Folge Kn konvergent ist. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 14:34: |
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Hi Stefan,
Zu den Näherungswerten der Entwicklung in dem von
Kay vorgelegten Kettenbruch gilt
nach meinen provisorischen Berechnungen
die folgende Rekursionsformel :
Zähler u(n) des n-ten Näherungsbruches :
u(n) = n * u(n-1) + u(n-2) ; (n = 1 ,2 ,3 ,..
mit
u(0) = 0, u(-1) = 1
Nenner v(n) des n-ten Näherungsbruches :
v(n) = n * v(n-1 ) + v(n-2) ; n = 1 , 2 , 3 , 4,....
mit
v(0) = 1, v(-1) = 0
Beispiel
sechster Näherungsbruch: u(6) / v(6) = 972/1393 ~ 0.69777459
u.s.w.
Vielleicht helfen diese Bemerkungen weiter und vermitteln den
Anschluss an die genannte Besselsche Funktion !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megemath. |
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